9-5 Um elipsóide, com eixos principais de comprimento 2 a, 2 a e 2 b é uniformemente magnetizado numa direção paralela ao eixo 2 b. A magnetização do elipsóide é \mathbf{M}_{0}. Encontre as densidades polares magnéticas para esta geometria.

Passo 1

O enunciado descreve um elipsóide de semi-eixos a,a,b (comprimentos totais 2a,2a,2b) magnetizado uniformemente ao longo do eixo z (o eixo de comprimento 2b). A magnetização é \mathbf{M}=\mathbf{M}_{0}=M_{0}\,\hat{\mathbf z}. Queremos as densidades de cargas magnéticas ligadas, que vêm de dois conceitos da teoria do magnetismo análogo à polarização elétrica:
– A densidade volumétrica de carga magnética ligada
\rho_{m}=-\nabla\cdot\mathbf{M},
– A densidade superficial de carga magnética ligada
\sigma_{m}=\mathbf{M}\cdot\hat{\mathbf n},
onde \hat{\mathbf n} é o versor normal exterior à superfície do elipsóide.

Passo 2

Como \mathbf{M}_{0} é uniforme em todo o volume, seu divergente é nulo:
\nabla\cdot\mathbf{M}_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad \rho_{m}=-\nabla\cdot\mathbf{M}_{0}=0.

Passo 3

Para achar \sigma_{m} precisamos do versor normal externo \hat{\mathbf n} à superfície definida por
f(x,y,z)=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}-1=0.
O gradiente de f dá a direção normal não unitária:
\nabla f =\Bigl(\tfrac{2x}{a^{2}},\,\tfrac{2y}{a^{2}},\,\tfrac{2z}{b^{2}}\Bigr).
O versor normal é
\hat{\mathbf n} =\frac{\nabla f}{\bigl\lvert\nabla f\bigr\rvert} =\frac{\bigl(x/a^{2},\,y/a^{2},\,z/b^{2}\bigr)} {\sqrt{x^{2}/a^{4}+y^{2}/a^{4}+z^{2}/b^{4}}}\,.

Passo 4

Como \mathbf{M}_{0}=M_{0}\,\hat{\mathbf z}, a densidade superficial de carga magnética é
\sigma_{m} =\mathbf{M}_{0}\cdot\hat{\mathbf n} =M_{0}\,\hat{\mathbf z}\cdot\hat{\mathbf n} =M_{0}\,\frac{z/b^{2}}{\sqrt{x^{2}/a^{4}+y^{2}/a^{4}+z^{2}/b^{4}}}
avaliada em todos os pontos (x,y,z) tais que x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}+z^{2}/b^{2}=1.

Resposta

\rho_{m} = 0,
\sigma_{m}(x,y,z) = M_{0} \cdot \frac{z/b^{2}}{\sqrt{x^{2}/a^{4} + y^{2}/a^{4} + z^{2}/b^{4}}} \quad \text{em} \quad \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1.

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