Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente?
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e quer saber se existe um conjunto de autovetores linearmente independente. Para isso vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), encontrar suas raízes \lambda e em seguida resolver (A-\lambda I)x=0 para cada \lambda.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico.
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\\\ 1 & 1-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}
Logo
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\,\bigl[(1-\lambda)^2 - 0\bigr] -1\bigl[1\,(1-\lambda)-0\cdot1\bigr] +1\bigl[1\cdot0 - (1-\lambda)\cdot1\bigr].
Simplificando, obtemos
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)^3 - (1-\lambda) - (1-\lambda) = (1-\lambda)\Bigl[(1-\lambda)^2 -2\Bigr].

Passo 3

Resolvendo (1-\lambda)\bigl[(1-\lambda)^2-2\bigr]=0:
1-\lambda = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = 1,
(1-\lambda)^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 1-\lambda = \pm\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1\mp\sqrt2.
Portanto os autovalores são \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 1+\sqrt2 e \lambda_3 = 1-\sqrt2.

Passo 4

Agora achamos um autovetor não-nulo para cada \lambda resolvendo (A-\lambda I)x=0.
Para \lambda_1=1:
A - I = \begin{pmatrix}0&1&1\\\ 1&0&0\\\ 1&0&0\end{pmatrix},
dá o sistema \;y+z=0,\;x=0,\;x=0.
Logo x=0, y=-z. Tomando z=1, um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=1+\sqrt2:
A - (1+\sqrt2)I =\begin{pmatrix}-\sqrt2&1&1\\\ 1&-\sqrt2&0\\\ 1&0&-\sqrt2\end{pmatrix},
\,x=\sqrt2\,y,\;x=\sqrt2\,z,\;-\sqrt2\,x+y+z=0.
Isso implica y=z. Tomando y=1, obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}\sqrt2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_3=1-\sqrt2:
A - (1-\sqrt2)I =\begin{pmatrix}\sqrt2&1&1\\\ 1&\sqrt2&0\\\ 1&0&\sqrt2\end{pmatrix},
\,x=-\sqrt2\,y,\;x=-\sqrt2\,z,\;\sqrt2\,x+y+z=0.
Isso implica y=z. Tomando y=1, obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}-\sqrt2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Como os três autovalores são distintos, seus autovetores correspondentes v_1,v_2,v_3 são necessariamente linearmente independentes. Logo há um conjunto de três autovetores linearmente independentes.

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 1+\sqrt2,\quad \lambda_3 = 1-\sqrt2.
Autovetores correspondentes (podem ser escalados) são
v_1 = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}\sqrt2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}-\sqrt2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Sim, estes três autovetores formam um conjunto linearmente independente.

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