31 Encontre a equação (a) da reta normal e (b) do plano tangente à superfície x y z=8 no ponto (2,2,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta normal e o plano tangente à superfície x,y,z=8 no ponto (2,2,2). O conteúdo aqui é superfícies definidas implicitamente e vamos usar o gradiente nabla F para obter o vetor normal.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x,y,z-8
O gradiente de F é
nabla F=(Fx,Fy,Fz)
com
Fx=y,z, Fy=x,z, Fz=x,y
No ponto (2,2,2) isso dá
nabla F(2,2,2)=(2cdot2,,2cdot2,,2cdot2)=(4,4,4)

Passo 3

A reta normal passa por (2,2,2) e tem direção nabla F(2,2,2). Uma forma paramétrica é
(x,y,z)=(2,2,2)+t,(4,4,4),
ou seja,
x=2+4t, y=2+4t, z=2+4t

Passo 4

O plano tangente é dado por
nabla F(2,2,2)cdotl((x,y,z)-(2,2,2)r)=0,
isto é,
4(x-2)+4(y-2)+4(z-2)=0
Dividindo por 4 e rearranjando, obtemos
x+y+z=6

Resposta

(a) reta normal: (x,y,z)=(2,2,2)+t,(4,4,4), ou em coordenadas x=2+4t,;y=2+4t,;z=2+4t.
(b) plano tangente: x+y+z=6.

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