Mostre que cada função é descontínua em (0,0).
f(x, y)= ln (x^2+y^2) & para (x, y) neq(0,0) 0 & para (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= lnl(x^2+y^2r)&se (x,y)neq(0,0), 0&se (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f é descontínua em (0,0). O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e definição de continuidade: f é contínua em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe como número real e coincide com f(0,0)=0. Caso contrário, f é descontínua.

Passo 2

Para estudar lim(x,y)to(0,0)ln(x^2+y^2) é conveniente usar coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta,
de modo que
x^2+y^2=r^2 Longrightarrow f(r,theta)=lnl(r^2r)

Passo 3

Reescrevendo em termos de r>0, temos
f(r,theta)=ln(r^2)=2ln(r)
Como rto0^+, ln(r)to-infty, logo
limrto0^+2ln(r)=-infty
Isso mostra que o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não é um número finito, mas diverge para -infty.

Passo 4

Como
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=-infty
não coincide com f(0,0)=0 (nem sequer é finito), concluímos que f é descontínua em (0,0).

Resposta

A função é descontínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)ln(x^2+y^2)=-inftyneq 0.

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