Mostre que cada função é descontínua em (0,0).
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
f é descontínua em
(0,0) . O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e definição de continuidade:
f é contínua em
(0,0) se
existe como número real e coincide com
f(0,0)=0 . Caso contrário,
f é descontínua.
Passo 2
Para estudar
lim(x,y)to(0,0)ln(x^2+y^2) é conveniente usar coordenadas polares:
de modo que
Passo 3
Reescrevendo em termos de
r>0 , temos
Como
rto0^+ ,
ln(r)to-infty , logo
Isso mostra que o limite de
f(x,y) quando
(x,y)to(0,0) não é um número finito, mas diverge para
-infty .
Passo 4
Como
não coincide com
f(0,0)=0 (nem sequer é finito), concluímos que
f é descontínua em
(0,0) .
Resposta
A função é descontínua em
(0,0) porque
lim(x,y)to(0,0)ln(x^2+y^2)=-inftyneq 0 .