encontre o termo inicial a e a razão r de cada série geométrica, determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty(910)^k+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o termo inicial a e a razão r da série
sumk=1^inftyl(tfrac910r)^k+1,
decidir se ela converge e, em caso positivo, calcular a soma. É uma série geométrica, então vamos usar a condição de convergência lvert rrvert<1 e a fórmula S=tfraca1-r.

Passo 2

O primeiro termo da série corresponde a k=1, isto é,
u1 = l(tfrac910r)^1+1 = l(tfrac910r)^2 = tfrac81100
Logo, a = tfrac81100.

Passo 3

A razão r é o quociente de dois termos consecutivos. Por exemplo,
r = uk+1uk = l(tfrac910r)^(k+1)+1l(tfrac910r)^k+1 = 910

Passo 4

A série geométrica converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui
llverttfrac910rrvert = 0,9 < 1,
portanto a série converge.

Passo 5

Como ela converge, a soma é dada por
S = a1 - r
Substituindo a = tfrac81100 e r = tfrac910, vem
S = tfrac811001 - tfrac910 = tfrac81100tfrac110 = 8110

Resposta

a = tfrac81100, r = tfrac910. A série converge e
sumk=1^inftyl(tfrac910r)^k+1 = 8110

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