encontre a série infinita com a seqüência de somas parciais dada, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma.
sn=2 n^23 n+5

Passo 1

O enunciado dá a sequência de somas parciais
sn = 2n^23n+5,
que corresponde a uma série infinita
sumk=1^infty ak,
onde cada termo an satisfaz
sn = sumk=1^nak
Vamos usar a relação
an = sn - sn-1,
com s0=0, para obter o termo geral da série, e em seguida verificar limntoinftysn para testar convergência.

Passo 2

Calculamos
an = sn - sn-1 = 2n^23n+5 - 2(n-1)^23(n-1)+5 = 2n^23n+5 - 2(n-1)^23n+2
Colocando em denominador comum:
an = 2n^2(3n+2) - 2(n-1)^2(3n+5)(3n+5)(3n+2)
Expandindo o numerador:
2n^2(3n+2) = 6n^3 + 4n^2, 2(n-1)^2(3n+5) = 6n^3 - 2n^2 -14n + 10,
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2n^2(3n+2) - 2(n-1)^2(3n+5) = (6n^3+4n^2) - (6n^3-2n^2-14n+10) = 6n^2 +14n -10
Portanto
an = 6n^2 + 14n - 10(3n+5)(3n+2)

Passo 3

Para verificar convergência da série, olhamos a soma parcial dada:
limntoinfty sn = limntoinfty 2n^23n+5 = limntoinfty 2n^23nl(1+tfrac53nr) = limntoinfty 2n3,(1+0) = infty
Como limntoinftysn não é finito, a série não pode convergir.

Resposta

A série infinita é
sumn=1^infty an com an = 6n^2 + 14n - 10(3n+5)(3n+2),
e, como
limntoinftysn=infty, a série diverge.

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