9-3 (a) O momento magnético de um corpo macroscópico é definido por \int_{v} \mathbf{M} d v. Demonstre a relação
\int_{V} \mathbf{M} d v=\int_{V} \mathbf{r} \rho_{M} d v+f_{S} \mathbf{r} \sigma_{M} d a,
onde S é a superfície que limita V. (Sugestão: Consulte o problema semelhante que envolve P , no Capítulo 4.) (b) Um ímã permanente, com a forma de uma esfera de raio R, tem magnetização uniforme,
\mathrm{M}_{0},
em direção do eixo polar. Determine o momento magnético do ímã a partir tanto do lado direito como do lado esquerdo da equação da parte (a).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma magnetização \mathbf{M}(\mathbf{r}) num volume V limitado por S, vale a identidade
\int_{V}\mathbf{M}\,dV \;=\;\int_{V}\mathbf{r}\,\rho_{M}\,dV \;+\;\int_{S}\mathbf{r}\,\sigma_{M}\,dA,
onde definimos as densidades de “carga magnética”
\rho_{M}=-\nabla\!\cdot\!\mathbf{M} (volume) e \sigma_{M}=\mathbf{M}\cdot\mathbf{n} (superfície).
Para isso vamos usar uma identidade vetorial e o teorema da divergência.

Passo 2

Usamos a identidade
\nabla\!\cdot\!(\mathbf{r}\,\mathbf{M}) \;=\;\mathbf{M}\;+\;\mathbf{r}\,(\nabla\!\cdot\!\mathbf{M}),
que se obtém de \nabla\!\cdot\!(a\,\mathbf{b})=a\,\nabla\!\cdot\!\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\nabla a, notando que \nabla\mathbf{r}=\mathbf{I}.
Rearranjando,
\mathbf{M} \;=\; \nabla\!\cdot\!(\mathbf{r}\,\mathbf{M}) \;-\; \mathbf{r}\,(\nabla\!\cdot\!\mathbf{M}).
Integramos sobre V:
\int_{V}\mathbf{M}\,dV = \int_{V}\nabla\!\cdot\!(\mathbf{r}\,\mathbf{M})\,dV \;-\; \int_{V}\mathbf{r}\,(\nabla\!\cdot\!\mathbf{M})\,dV.

Passo 3

Aplicando o teorema da divergência ao primeiro termo e usando \rho_{M}=-\nabla\!\cdot\!\mathbf{M}, \sigma_{M}=\mathbf{M}\cdot\mathbf{n}, obtemos
\int_{V}\mathbf{M}\,dV = \int_{S}\mathbf{r}\,(\mathbf{M}\cdot\mathbf{n})\,dA \;-\; \int_{V}\mathbf{r}\,(\nabla\!\cdot\!\mathbf{M})\,dV = \int_{V}\mathbf{r}\,\rho_{M}\,dV \;+\; \int_{S}\mathbf{r}\,\sigma_{M}\,dA.
Isto confirma a relação pedida.

Passo 4

Parte (b): para uma esfera de raio R com magnetização uniforme \mathbf{M}=M_{0}\,\hat{\mathbf{z}}, o momento magnético é
\mathbf{m} =\int_{V}\mathbf{M}\,dV =M_{0}\,\hat{\mathbf{z}}\;\times\;\bigl(\text{volume da esfera}\bigr) =M_{0}\,\hat{\mathbf{z}}\;\frac{4\pi R^{3}}{3}.

Passo 5

Também uso o lado direito da relação: como \nabla\!\cdot\!\mathbf{M}=0 dentro da esfera, \rho_{M}=0, fica só o termo de superfície, com
\sigma_{M}=\mathbf{M}\cdot\mathbf{n}=M_{0}\cos\theta. Num cálculo em coordenadas esféricas vê-se que
\int_{S}\mathbf{r}\,\sigma_{M}\,dA =\hat{\mathbf{z}}\,M_{0} \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} \bigl(R\cos\theta\bigr)\,(R^{2}\sin\theta)\,\cos\theta \,d\theta\,d\varphi =\hat{\mathbf{z}}\,M_{0}\,\frac{4\pi R^{3}}{3}.
Portanto coincide com o resultado direto.

Resposta

\mathbf{m} =\frac{4\pi R^{3}}{3}\,M_{0}\,\hat{\mathbf{z}}.

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