9-3 (a) O momento magnético de um corpo macroscópico é definido por
. Demonstre a relação
onde
é a superfície que limita
. (Sugestão: Consulte o problema semelhante que envolve P , no Capítulo 4.) (b) Um ímã permanente, com a forma de uma esfera de raio
, tem magnetização uniforme,
,
em direção do eixo polar. Determine o momento magnético do ímã a partir tanto do lado direito como do lado esquerdo da equação da parte (a).
em direção do eixo polar. Determine o momento magnético do ímã a partir tanto do lado direito como do lado esquerdo da equação da parte (a).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma magnetização
num volume
limitado por
, vale a identidade
onde definimos as densidades de “carga magnética”
(volume) e
(superfície).
Para isso vamos usar uma identidade vetorial e o teorema da divergência.
Para isso vamos usar uma identidade vetorial e o teorema da divergência.
Passo 2
Usamos a identidade
que se obtém de
, notando que
.
Rearranjando,
Rearranjando,
Integramos sobre
:
Passo 3
Aplicando o teorema da divergência ao primeiro termo e usando
,
, obtemos
Isto confirma a relação pedida.
Passo 4
Parte (b): para uma esfera de raio
com magnetização uniforme
, o momento magnético é
Passo 5
Também uso o lado direito da relação: como
dentro da esfera,
, fica só o termo de superfície, com
. Num cálculo em coordenadas esféricas vê-se que
Portanto coincide com o resultado direto.