3 Se O A B C é um paralelogramo do plano x y com A e C como vértices opostos, mostre que
O A+12(O C-O A)=12 O B

Passo 1

O enunciado diz que OABC é um paralelogramo no plano e que A e C são vértices opostos. Queremos manipular
O A+tfrac12l(O C-O Ar)
usando a propriedade fundamental de um paralelogramo:
O C=O A+O B

Passo 2

A partir de O C=O A+O B obtemos
O C-O A =l(O A+O Br);-;O A =O B

Passo 3

Substituindo no trecho que aparece na expressão original, temos
O A+tfrac12l(O C-O Ar) =O A+tfrac12,O B

Passo 4

O enunciado pede para mostrar que isso é igual a tfrac12,O B. Comparando, teríamos
O A+tfrac12,O B ;=;tfrac12,O B Longrightarrow O A=0
Mas O A=0 só ocorre se A=O, o que torna o “paralelogramo” degenerado.

Resposta

A simplificação mostra que
O A+tfrac12l(O C-O Ar) =O A+tfrac12,O B,
e isso só coincide com tfrac12,O B no caso degenerado O A=0. Portanto, para um paralelogramo não degenerado a igualdade pedida não é verdadeira.

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