Do problema 23 ao 26, encontre (a) o valor máximo da derivada direcional e (b) um vetor unitário \bar{u} na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado.
f(x, y, z)=\left(x{2}+y{2}+z{2}\right){-1} em (1,2,-3).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z) = l(x^2+y^2+z^2r)^-1
no ponto (1,2,-3) e pede
(a) o valor máximo da derivada direcional e
(b) um vetor unitário bar u na direção desse máximo.
Vamos usar que a derivada direcional máxima em um ponto é a norma do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Derivando cada componente, obtém-se
nabla f(x,y,z) = -2,(x,y,z)l(x^2+y^2+z^2r)^2

Passo 3

Avaliar nabla f em (1,2,-3). Como
1^2+2^2+(-3)^2=14,
segue que
nabla f(1,2,-3) = -2,(1,2,-3)14^2 = -2,(1,2,-3)196 = (-1,-2,3)98

Passo 4

O valor máximo da derivada direcional é a norma de nabla f(1,2,-3):
|nabla f(1,2,-3)| = raiz(-1)^2+(-2)^2+3^298 = raiz1498 = 17raiz14

Passo 5

O vetor unitário na direção do gradiente é
bar u = nabla f(1,2,-3)|nabla f(1,2,-3)| = (-1,-2,3)/98raiz14/98 = (-1,-2,3)raiz14

Resposta

(a) 17raiz14
(b) (-1,-2,3)raiz14

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