Do problema 23 ao 26, encontre (a) o valor máximo da derivada direcional e (b) um vetor unitário \bar{u} na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado.
f(x, y, z)=\left(x{2}+y{2}+z{2}\right){-1} em (1,2,-3).
f(x, y, z)=\left(x{2}+y{2}+z{2}\right){-1} em (1,2,-3).
Passo 1
O enunciado nos dá a função
no ponto
e pede
(a) o valor máximo da derivada direcional e
(b) um vetor unitário na direção desse máximo.
Vamos usar que a derivada direcional máxima em um ponto é a norma do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente.
(a) o valor máximo da derivada direcional e
(b) um vetor unitário
Vamos usar que a derivada direcional máxima em um ponto é a norma do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente.
Passo 2
Calcular o gradiente de
. Derivando cada componente, obtém-se
Passo 3
Avaliar
em
. Como
segue que
Passo 4
O valor máximo da derivada direcional é a norma de
:
Passo 5
O vetor unitário na direção do gradiente é
Resposta
(a)
(b)
(b)