Nos problemas de 19 a 22, encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}, z_{0}) e (b) a derivada direcional D_{\bar{u}} f
(x_{0}, y_{0}, z_{\alpha}) para a função f dada, para o ponto ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) e para o vetor unitário \bar{u} indicados.
f(x, y, z)=\ln \left(x{2}+y{2}+z^{2}\right),(x_{0}, y_{0}, z_{0})=(1,1,1), \bar{u}=-\frac{2}{3} \bar{i}+\frac{1}{3} \bar{j}+\frac{2}{3} \bar{k}.

Passo 1

O enunciado pede (a) o gradiente de
f(x,y,z)=lnl(x^2+y^2+z^2r)
no ponto (x0,y0,z0)=(1,1,1) e (b) a derivada direcional de f nesse ponto, na direção do vetor unitário
bar u=-tfrac23, i+tfrac13, j+tfrac23, k.
Para isso vamos usar as definições de derivadas parciais para obter nabla f e a relação
Dbar uf=nabla fcdotbar u.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais:
Para partial f/partial x temos
partial fpartial x =1,x^2+y^2+z^2,cdotpartialpartial xl(x^2+y^2+z^2r) =2xx^2+y^2+z^2
Analogamente,
partial fpartial y=2yx^2+y^2+z^2, partial fpartial z=2zx^2+y^2+z^2
Logo,
nabla f(x,y,z) =l(2xx^2+y^2+z^2,,2yx^2+y^2+z^2,,2zx^2+y^2+z^2r)

Passo 3

Avalie o gradiente em (1,1,1):
nabla f(1,1,1) =l(2cdot11+1+1,,2cdot11+1+1,,2cdot11+1+1r) =l(tfrac23,,tfrac23,,tfrac23r)

Passo 4

Use a definição de derivada direcional:
Dbar uf(1,1,1) =nabla f(1,1,1)cdotbar u =l(tfrac23,tfrac23,tfrac23r)cdotl(-tfrac23,tfrac13,tfrac23r)
Compute o produto escalar:
Dbar uf(1,1,1) =23l(-23+13+23r) =23cdot13 =29

Resposta

(a) nabla f(1,1,1)=l(tfrac23,tfrac23,tfrac23r)
(b) Dbar uf(1,1,1)=tfrac29

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