Nos problemas de 19 a 22, encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}, z_{0}) e (b) a derivada direcional D_{\bar{u}} f
(x_{0}, y_{0}, z_{\alpha}) para a função f dada, para o ponto ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) e para o vetor unitário \bar{u} indicados.
f(x, y, z)=\ln \left(x{2}+y{2}+z^{2}\right),(x_{0}, y_{0}, z_{0})=(1,1,1), \bar{u}=-\frac{2}{3} \bar{i}+\frac{1}{3} \bar{j}+\frac{2}{3} \bar{k}.
f(x, y, z)=\ln \left(x{2}+y{2}+z^{2}\right),(x_{0}, y_{0}, z_{0})=(1,1,1), \bar{u}=-\frac{2}{3} \bar{i}+\frac{1}{3} \bar{j}+\frac{2}{3} \bar{k}.
Passo 1
O enunciado pede (a) o gradiente de
no ponto e (b) a derivada direcional de
nesse ponto, na direção do vetor unitário
.
Para isso vamos usar as definições de derivadas parciais para obter e a relação
.
no ponto
Para isso vamos usar as definições de derivadas parciais para obter
Passo 2
Calcule as derivadas parciais:
Para temos
Para
Analogamente,
Logo,
Passo 3
Avalie o gradiente em
:
Passo 4
Use a definição de derivada direcional:
Compute o produto escalar:
Resposta
(a)
(b)
(b)