Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=x cos y-y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem e a verificação da igualdade dos diferenciais mistos para a função
f(x,y)=xcos y - y^2
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e aplicação do teorema de Schwarz (comutatividade das derivadas mistas).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. A partir de f(x,y)=xcos y - y^2 temos
partial fpartial x = cos y
e
partial fpartial y = -,xsin y ;-; 2y

Passo 3

Derivando partial fpartial x=cos y em relação a x, obtemos
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(cos y) = 0

Passo 4

Derivando partial fpartial y=-xsin y - 2y em relação a y, obtemos
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(-xsin y - 2y) = -,xcos y ;-; 2

Passo 5

Derivando partial fpartial x=cos y em relação a y, obtemos
partial^2 fpartial ypartial x = partialpartial y(cos y) = -sin y

Passo 6

Derivando partial fpartial y=-xsin y - 2y em relação a x, obtemos
partial^2 fpartial xpartial y = partialpartial x(-xsin y - 2y) = -sin y

Passo 7

Observamos que
partial^2 fpartial ypartial x = -sin y e partial^2 fpartial xpartial y = -sin y
portanto as derivadas mistas coincidem, confirmando o teorema de Schwarz.

Resposta

(a) partial^2 fpartial x^2 = 0.
(b) partial^2 fpartial y^2 = -xcos y - 2.
(c) partial^2 fpartial ypartial x = -sin y.
(d) partial^2 fpartial xpartial y = -sin y.
(e) partial^2 fpartial ypartial x = partial^2 fpartial xpartial y.

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