Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem e a verificação da igualdade dos diferenciais mistos para a função
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e aplicação do teorema de Schwarz (comutatividade das derivadas mistas).
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. A partir de
temos
e
Passo 3
Derivando
em relação a
, obtemos
Passo 4
Derivando
em relação a
, obtemos
Passo 5
Derivando
em relação a
, obtemos
Passo 6
Derivando
em relação a
, obtemos
Passo 7
Observamos que
portanto as derivadas mistas coincidem, confirmando o teorema de Schwarz.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)