Nos problemas 9 a 12, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.
(11 \iiint_{S} \frac{d x d y d z}{\sqrt{x{2}+y{2}}}), onde S é o sólido limitado superiormente pelo plano z=4, inferiormente pelo plano z=1 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=16.

Passo 1

O enunciado apresenta a integral
11 integral triplaS d x,d y,d zraizx^2+y^2
O sólido S é limitado por z=1 (plano inferior), z=4 (plano superior) e pelo cilindro x^2+y^2=16. Vamos usar mudança para coordenadas cilíndricas e calcular a integral tripla.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas,
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e o elemento de volume é
d x,d y,d z = r,d r,dtheta,d z
Além disso,
1raizx^2+y^2 = 1r,
portanto o integrando fica
1r,r,d r,dtheta,d z = d r,dtheta,d z

Passo 3

Os limites de integração são
0 <= r <= 4, 0 <= theta <= 2pi, 1 <= z <= 4
Assim a integral vira
11 integral0^2pi!!integral0^4!!integral1^4 d z,d r,d theta

Passo 4

Calculando em ordem:
integral1^4 d z = 3, integral0^4 d r = 4, integral0^2pi d theta = 2pi
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11 times 3 times 4 times 2pi = 264pi

Resposta

264pi

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