Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(25\left{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right})

Passo 1

O enunciado pede para a sequência
an = l(1 + tfrac1nr)^n
determinar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu limite. O conteúdo envolvido é limite de sequência, e vamos usar transformação logarítmica e um limite padrão de análise.

Passo 2

Definimos
bn = ln(an)
Assim,
bn = n lnl(1 + tfrac1nr)
Fazendo a mudança de variável x = tfrac1n, obtemos
bn = ln(1 + x)x

Passo 3

Usamos o limite conhecido
limxto0 ln(1+x)x = 1
Portanto,
limntoinfty bn = 1

Passo 4

Como a função exponencial é contínua, temos
limntoinfty an = expl(limntoinfty bnr) = exp(1) = e

Resposta

A sequência converge e seu limite é e.

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