Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(17\left{\frac{\ln (n+1)}{n+1}\right})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = ln(n+1),n+1,,
verificando se ela converge quando ntoinfty e, em caso afirmativo, calcular seu limite. O conteúdo aqui é limite de sequência cujo numerador cresce como logaritmo e o denominador cresce linearmente.

Passo 2

Para encontrar
limntoinfty an = limntoinfty ln(n+1)n+1,
vemos que podemos estender para a função contínua f(x)=ln xx e estudar
limxtoinfty ln xx
Aplicando o critério de l’Hôpital (forma infty/infty): derivada do numerador é 1/x e do denominador é 1, logo
limxtoinfty ln xx = limxtoinfty 1x1 = limxtoinfty 1x = 0
Como o limite da função é 0, a sequência an também converge para 0.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyln(n+1)n+1=0

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