Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(18\left{1+\left(\frac{1}{3}\right){n}-\left(\frac{3}{4}\right){n}\right})

Passo 1

O enunciado do problema 18 nos dá a sequência
an = 1 + l(tfrac13r)^n - l(tfrac34r)^n
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é convergência de sequências e cálculo de limites usando a propriedade de que, se |r|<1, então r^nto0 quando ntoinfty.

Passo 2

Observamos que an é soma de três termos:
1, l(tfrac13r)^n, -l(tfrac34r)^n
Pelas propriedades de limites,
limntoinfty(xn + yn + zn) =limntoinftyxn +limntoinftyyn +limntoinftyzn,
desde que todos os limites existam.

Passo 3

Aplicando o fato de que l(tfrac13r)^nto0 e l(tfrac34r)^nto0 (pois l|tfrac13r|<1 e l|tfrac34r|<1), temos:
limntoinfty1 = 1, limntoinftyl(tfrac13r)^n = 0, limntoinftyl(-l(tfrac34r)^nr) = 0

Passo 4

Somando esses resultados:
limntoinftyan = 1 + 0 - 0 = 1
Logo, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 1

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