Nos problemas de 11 a 14, determine (a) o valor máximo da derivada direcional e (b) um vetor unitário \bar{u} na direção da derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado.
g(x, y)=(x+y-2)^{2}+(3 x-y-6)^{2} \mathrm{em}(1,1).

Passo 1

O enunciado apresenta a função
g(x,y)=(x+y-2)^2+(3x-y-6)^2
e pede em (1,1):
(a) o valor máximo da derivada direcional e
(b) um vetor unitário bar u na direção dessa derivada máxima.
O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente: sabemos que a maior derivada direcional num ponto é |nabla g| e ocorre na direção do gradiente nabla g.

Passo 2

Calculemos o gradiente de g. Defina
u=x+y-2, v=3x-y-6,
então
nabla g=(gx,gy),
onde
gx=2upartial upartial x+2vpartial vpartial x =2(x+y-2)cdot1+2(3x-y-6)cdot3
e
gy=2upartial upartial y+2vpartial vpartial y =2(x+y-2)cdot1+2(3x-y-6)cdot(-1)

Passo 3

Avalie nabla g em (1,1). Primeiro
u(1,1)=1+1-2=0, v(1,1)=3cdot1-1-6=-4
Logo
nabla g(1,1)=l(2cdot0+6cdot(-4),,2cdot0-2cdot(-4)r)=(-24,8)

Passo 4

O valor máximo da derivada direcional é
|nabla g(1,1)|=raiz(-24)^2+8^2=raiz640=8raiz10
E o vetor unitário na direção do gradiente é
bar u=nabla g(1,1)|nabla g(1,1)| =l(-248raiz10,88raiz10r) =l(-3raiz10,1raiz10r)

Resposta

(a) 8raiz10
(b) bar u=l(-tfrac3raiz10,tfrac1raiz10r)

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