Nos problemas de 5 a 8 , encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}) e (b) o valor da derivada direcional de f em
(x_{0}, y_{0}) na direção indicada.
f(x, y)=\ln \sqrt{x{2}+y{2}},(x_{0}, y_{0})=(3,-1), na direção do vetor \bar{v}=4 \bar{i}+3 \bar{j}. (Atenção: \bar{v} não é vetor unitário).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y)=lnraizx^2+y^2
no ponto (x0,y0)=(3,-1) e na direção do vetor bar v=4,bar i+3,bar j:
(a) o gradiente nabla f(x0,y0) e
(b) a derivada direcional de f em (x0,y0) na direção de bar v.
O conteúdo que vamos aplicar envolve cálculo de derivadas parciais para obter o gradiente e, em seguida, o produto escalar do gradiente com o vetor unitário da direção dada.

Passo 2

Primeiro simplificamos f usando raizx^2+y^2=(x^2+y^2)^1/2:
f(x,y) = lnl((x^2+y^2)^1/2r) = tfrac12,ln(x^2+y^2)
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 12cdot1x^2+y^2cdot 2x = xx^2+y^2, partial fpartial y = yx^2+y^2

Passo 3

Avaliaremos o gradiente em (3,-1):
nabla f(3,-1) = l(33^2+(-1)^2,,-13^2+(-1)^2r) = l(310,,-110r)

Passo 4

Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário na direção de bar v=(4,3). Seu módulo é
|bar v| = raiz4^2+3^2 = 5,
logo o vetor unitário é
u = bar v|bar v| = l(45,,35r)

Passo 5

A derivada direcional de f em (3,-1) na direção de bar v é o produto escalar
Duf(3,-1) = nabla f(3,-1)cdot u = l(tfrac310,,-tfrac110r)cdotl(tfrac45,,tfrac35r) = 3cdot4 + (-1)cdot310cdot5 = 12-350 = 950

Resposta

(a) nabla f(3,-1)=l(tfrac310,-tfrac110r).
(b) A derivada direcional vale tfrac950.

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