Nos problemas de 5 a 8 , encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}) e (b) o valor da derivada direcional de f em
(x_{0}, y_{0}) na direção indicada.
f(x, y)=\ln \sqrt{x{2}+y{2}},(x_{0}, y_{0})=(3,-1), na direção do vetor \bar{v}=4 \bar{i}+3 \bar{j}. (Atenção: \bar{v} não é vetor unitário).
f(x, y)=\ln \sqrt{x{2}+y{2}},(x_{0}, y_{0})=(3,-1), na direção do vetor \bar{v}=4 \bar{i}+3 \bar{j}. (Atenção: \bar{v} não é vetor unitário).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no ponto
e na direção do vetor
:
(a) o gradiente e
(b) a derivada direcional de em
na direção de
.
O conteúdo que vamos aplicar envolve cálculo de derivadas parciais para obter o gradiente e, em seguida, o produto escalar do gradiente com o vetor unitário da direção dada.
(a) o gradiente
(b) a derivada direcional de
O conteúdo que vamos aplicar envolve cálculo de derivadas parciais para obter o gradiente e, em seguida, o produto escalar do gradiente com o vetor unitário da direção dada.
Passo 2
Primeiro simplificamos
usando
:
Agora calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Avaliaremos o gradiente em
:
Passo 4
Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário na direção de
. Seu módulo é
logo o vetor unitário é
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção de
é o produto escalar
Resposta
(a)
.
(b) A derivada direcional vale .
(b) A derivada direcional vale