Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar, (b) o valor de \nabla z no ponto
(x_{0}, y_{0}), e (c) a derivada direcional D_{\bar{u}} z em
(x_{0}, y_{0}) na direção do vetor unitário \bar{u}.
z=e^{x y},(x_{0}, y_{0})=(1,1),
\bar{u}=(\cos \theta) \hat{i}+(\operatorname{sen} \theta) \hat{j}, \theta=-\pi / 4).
z=e^{x y},(x_{0}, y_{0})=(1,1),
\bar{u}=(\cos \theta) \hat{i}+(\operatorname{sen} \theta) \hat{j}, \theta=-\pi / 4).
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar
e pede (a) o gradiente
, (b) esse gradiente no ponto
e (c) a derivada direcional em
na direção do vetor unitário
com
. Vamos usar os conceitos de derivada parcial, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A definição do gradiente de um campo escalar
é
Para
temos
Logo
Passo 3
Para avaliar em
basta substituir
e
em
:
Passo 4
A derivada direcional de
em
na direção de
é o produto escalar
Com
temos
então
Calculando o produto escalar:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)