Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar, (b) o valor de \nabla z no ponto
(x_{0}, y_{0}), e (c) a derivada direcional D_{\bar{u}} z em
(x_{0}, y_{0}) na direção do vetor unitário \bar{u}.
z=e^{x y},(x_{0}, y_{0})=(1,1),
\bar{u}=(\cos \theta) \hat{i}+(\operatorname{sen} \theta) \hat{j}, \theta=-\pi / 4).

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
z = e^xy
e pede (a) o gradiente nabla z, (b) esse gradiente no ponto (x0,y0)=(1,1) e (c) a derivada direcional em (1,1) na direção do vetor unitário
baru = (costheta,sintheta)
com theta = -pi/4. Vamos usar os conceitos de derivada parcial, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A definição do gradiente de um campo escalar z(x,y) é
nabla z = l(partial zpartial x,,partial zpartial yr)
Para z = e^xy temos
partial zpartial x = y,e^xy, partial zpartial y = x,e^xy
Logo
nabla z = l(y,e^xy,,x,e^xyr)

Passo 3

Para avaliar em (1,1) basta substituir x=1 e y=1 em nabla z:
nabla z(1,1) = l(1cdot e^1cdot1,,1cdot e^1cdot1r) = (e,e)

Passo 4

A derivada direcional de z em (1,1) na direção de baru é o produto escalar
Dbaruz(1,1) = nabla z(1,1)cdot baru
Com theta = -pi/4 temos
costheta = raiz22, sintheta = -raiz22,
então
baru = l(tfracraiz22,,-tfracraiz22r)
Calculando o produto escalar:
Dbaruz(1,1) = (e,e)cdotl(tfracraiz22,-tfracraiz22r) = eraiz22 ;-;eraiz22 = 0

Resposta

(a) nabla z = l(y,e^xy,,x,e^xyr)
(b) nabla z(1,1) = (e,e)
(c) Dbaruz(1,1)=0

Exercícios de Livros Relacionados