Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(32\left{\frac{3 n{4}}{n+3{n}}\right})

Passo 1

O enunciado pede para a sequência
an = 3,n^4n + 3^n
determinar (i) se é crescente, decrescente ou não-monótona; (ii) se é limitada superiormente e/ou inferiormente; (iii) se é convergente ou divergente. O conteúdo usado será crescimento exponencial versus polinomial, estudo de limites e análise de monotonicidade.

Passo 2

Para ver o comportamento quando ntoinfty, note que 3^n cresce muito mais rápido que n^4. Podemos escrever
an = 3,n^4n + 3^n = 3,n^43^n,11 + tfracn3^n sim 3,n^43^n,
e como n^43^nto 0, segue que
limntoinftyan = 0

Passo 3

Para a monotonicidade, calculemos alguns termos iniciais:
a1 = 31+3=0,75, a2 = 4811approx4,36, a3 = 24330=8,1, a4 = 76885approx9,035, a5 approx7,56
Vê-se que an cresce de n=1 até n=4 e depois decresce. Logo a sequência não é monotônica em todo N.

Passo 4

Como an>0 para todo n, a sequência é limitada inferiormente (por 0). Também é limitada superiormente porque o maior valor ocorre em n=4, isto é,
supnan = a4 approx 9,035

Passo 5

Já encontramos que limntoinftyan=0, que existe e é finito. Logo a sequência é convergente.

Resposta

Não-monótona
Limitada superiormente e limitada inferiormente
Convergente, com limntoinftyan = 0

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