Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(32\left{\frac{3 n{4}}{n+3{n}}\right})
(32\left{\frac{3 n{4}}{n+3{n}}\right})
Passo 1
O enunciado pede para a sequência
determinar (i) se é crescente, decrescente ou não-monótona; (ii) se é limitada superiormente e/ou inferiormente; (iii) se é convergente ou divergente. O conteúdo usado será crescimento exponencial versus polinomial, estudo de limites e análise de monotonicidade.
Passo 2
Para ver o comportamento quando
, note que
cresce muito mais rápido que
. Podemos escrever
e como
, segue que
Passo 3
Para a monotonicidade, calculemos alguns termos iniciais:
Vê-se que
cresce de
até
e depois decresce. Logo a sequência não é monotônica em todo
.
Passo 4
Como
para todo
, a sequência é limitada inferiormente (por
). Também é limitada superiormente porque o maior valor ocorre em
, isto é,
Passo 5
Já encontramos que
, que existe e é finito. Logo a sequência é convergente.
Resposta
Não-monótona
Limitada superiormente e limitada inferiormente
Convergente, com
Limitada superiormente e limitada inferiormente
Convergente, com