Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(11\left|\frac{n^{3}-5 n}{7 n^{3}+2 n}\right|\right|)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 11|n^3-5n7n^3+2n|
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite. O conteúdo aqui é limite de sequência definida por razão de polinômios.

Passo 2

Observamos que, para grandes n, os termos de maior grau em numerador e denominador dominam o comportamento. Escrevemos
n^3-5n7n^3+2n
e iremos simplificar dividindo numerador e denominador por n^3.

Passo 3

Dividindo por n^3, temos
n^3-5n7n^3+2n = n^3l(1-tfrac5n^2r)n^3l(7+tfrac2n^2r) = 1-tfrac5n^27+tfrac2n^2

Passo 4

Ao fazer ntoinfty, os termos tfrac5n^2 e tfrac2n^2 vão a zero, de modo que
limntoinftyn^3-5n7n^3+2n = 1-07+0 = 17
Como estamos tomando valor absoluto, isso não altera o limite dentro do módulo. Multiplicando por 11, concluímos
limntoinftyan = 11cdot17 = 117

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 117

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