Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar, (b) o valor de \nabla z no ponto
(x_{0}, y_{0}), e (c) a derivada direcional D_{\bar{u}} z em
(x_{0}, y_{0}) na direção do vetor unitário \bar{u}.
z=2 x^{2}+3 y^{2}-1,(x_{0}, y_{0})=(0,0), \bar{u}=(\cos \theta) \bar{i}+(\operatorname{sen} \theta) \bar{j}, \theta=\pi / 3).
z=2 x^{2}+3 y^{2}-1,(x_{0}, y_{0})=(0,0), \bar{u}=(\cos \theta) \bar{i}+(\operatorname{sen} \theta) \bar{j}, \theta=\pi / 3).
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar
e pede:
(a) o gradiente ,
(b) o valor de no ponto
,
(c) a derivada direcional em
na direção do vetor unitário
(a) o gradiente
(b) o valor de
(c) a derivada direcional
Vamos usar as definições de derivadas parciais para montar o gradiente e o produto escalar para a derivada direcional.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
:
Logo, o gradiente é
Passo 3
Avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
Determinar a componente de
para
:
A derivada direcional em
é o produto escalar
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)