Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar, (b) o valor de \nabla z no ponto
(x_{0}, y_{0}), e (c) a derivada direcional D_{\bar{u}} z em
(x_{0}, y_{0}) na direção do vetor unitário \bar{u}.
z=2 x^{2}+3 y^{2}-1,(x_{0}, y_{0})=(0,0), \bar{u}=(\cos \theta) \bar{i}+(\operatorname{sen} \theta) \bar{j}, \theta=\pi / 3).

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
z=2x^2+3y^2-1
e pede:
(a) o gradiente nabla z,
(b) o valor de nabla z no ponto (x0,y0)=(0,0),
(c) a derivada direcional Dbaruz em (0,0) na direção do vetor unitário
baru=(costheta,sintheta), theta=pi3
Vamos usar as definições de derivadas parciais para montar o gradiente e o produto escalar para a derivada direcional.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = partialpartial xl(2x^2+3y^2-1r) =4x,
partial zpartial y = partialpartial yl(2x^2+3y^2-1r) =6y
Logo, o gradiente é
nabla z=(4x,6y)

Passo 3

Avaliar o gradiente no ponto (0,0):
nabla z(0,0)=(4cdot0,6cdot0)=(0,0)

Passo 4

Determinar a componente de baru para theta=pi/3:
baru=l(costfracpi3,sintfracpi3r) =l(tfrac12,tfracraiz32r)
A derivada direcional em (0,0) é o produto escalar
Dbaruz(0,0) =nabla z(0,0)cdotbaru =(0,0)cdotl(tfrac12,tfracraiz32r) =0cdottfrac12+0cdottfracraiz32 =0

Resposta

(a) nabla z=(4x,6y)
(b) nabla z(0,0)=(0,0)
(c) Dbaruz(0,0)=0

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