Nos problemas 17 a 22, use uma integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
de cada sólido
.
(17 S) é o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelos planos coordenados.
(17 S) é o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que fica no primeiro octante (
,
,
) e é limitado pelo cilindro
e pelo plano
. O conteúdo envolve integração tripla em coordenadas cilíndricas, onde usaremos a transformação
e o jacobiano
.
Passo 2
Descrevemos a região em cilíndricas:
– varia de
a
(pois
).
– varia de
a
(primeiro quadrante em
).
– Para cada ,
vai de
até
.
Logo o volume é
–
–
– Para cada
Logo o volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Assim
Passo 4
O integrando separa em produto de função de
e de
:
Calculamos cada parte:
Portanto
.
Resposta
O volume do sólido é
.