Nos problemas 17 a 22, use uma integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular o volume V de cada sólido S.
(17 S) é o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x^2+y^2=9, pelo plano z=y e pelos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que fica no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0) e é limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelo plano z=y. O conteúdo envolve integração tripla em coordenadas cilíndricas, onde usaremos a transformação
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e o jacobiano r.

Passo 2

Descrevemos a região em cilíndricas:
r varia de 0 a 3 (pois x^2+y^2<=9).
theta varia de 0 a tfracpi2 (primeiro quadrante em xy).
– Para cada (r,theta), z vai de 0 até z=y=rsintheta.
Logo o volume é
V = integraltheta=0^pi2 integralr=0^3 integralz=0^rsintheta r ,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integralz=0^rsinthetar,dz = rl[zr]0^rsintheta = r,(rsintheta) = r^2sintheta
Assim
V = integral0^pi2 integral0^3 r^2sintheta ,dr,dtheta

Passo 4

O integrando separa em produto de função de r e de theta:
V = l(integral0^pi2sintheta,dthetar) l(integral0^3r^2,drr)
Calculamos cada parte:
integral0^pi2sintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi2 = 1,
integral0^3r^2,dr = l[tfracr^33r]0^3 = tfrac273 = 9
Portanto V = 1 times 9 = 9.

Resposta

O volume do sólido é V = 9.

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