Nos problemas 13 a 16, converta para coordenadas esféricas e calcule a integral.
(16 \iint_{S} \operatorname{sen} \sqrt{x{2}+y{2}}+z^{2} d x d y d z), onde
é o sólido limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
(16 \iint_{S} \operatorname{sen} \sqrt{x{2}+y{2}}+z^{2} d x d y d z), onde
Passo 1
O enunciado pede
onde
é o sólido limitado pela esfera
por cima e pelo cone
por baixo.
Conteúdo: mudança para coordenadas esféricas, em que
Conteúdo: mudança para coordenadas esféricas, em que
e o jacobiano é
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas o integrando fica
e o elemento de volume
Passo 3
Os limites de integração são:
Portanto a integral vira
Passo 4
Integramos primeiro em
e
:
Logo sobra
Passo 5
Calcular
por partes, escolhendo
,
. Então
e
Avaliando de
a
:
Passo 6
Multiplicando tudo: