Nos problemas 13 a 16, converta para coordenadas esféricas e calcule a integral.
(16 \iint_{S} \operatorname{sen} \sqrt{x{2}+y{2}}+z^{2} d x d y d z), onde S é o sólido limitado superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=49 e inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede
integral triplaSsinl(raizx^2+y^2+z^2r),dx,dy,dz
onde S é o sólido limitado pela esfera
x^2+y^2+z^2=49
por cima e pelo cone
z=raizx^2+y^2
por baixo.
Conteúdo: mudança para coordenadas esféricas, em que
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
e o jacobiano é rho^2sinvarphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o integrando fica
sinl(raizx^2+y^2+z^2r)=sin(rho),
e o elemento de volume
dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 3

Os limites de integração são:
0<= theta <= 2pi, 0<= varphi<= pi4 (pois z=rhocosvarphi=rhosinvarphiimpliesvarphi=tfracpi4), 0<= rho<= 7
Portanto a integral vira
integral0^2pi !integral0^pi/4 !integral0^7 sin(rho),rho^2sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em theta e varphi:
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pi/4sinvarphi,dvarphi =l[-cosvarphir]0^pi/4 =1-1raiz2
Logo sobra
2pil(1-tfrac1raiz2r) integral0^7rho^2sinrho,drho

Passo 5

Calcular
integral0^7rho^2sinrho,drho
por partes, escolhendo u=rho^2, dv=sinrho,drho. Então
du=2rho,drho, v=-cosrho,
e
integralrho^2sinrho,drho =-rho^2cosrho + integral2rhocosrho,drho =-rho^2cosrho+2l(rhosinrho+cosrhor)+C
Avaliando de 0 a 7:
integral0^7rho^2sinrho,drho =l[-rho^2cosrho+2rhosinrho+2cosrhor]0^7 =l(-49cos7+14sin7+2cos7r)-2 =-47cos7+14sin7-2

Passo 6

Multiplicando tudo:
integral triplaSsinl(raizx^2+y^2+z^2r),dV =2pil(1-tfrac1raiz2r)l(-47cos7+14sin7-2r)

Resposta

boxed 2pil(1-tfrac1raiz2r)l(-47cos7+14sin7-2r)

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