25 Seja w=e^x+ye^x+e^y. Mostre que partial wpartial x+partial wpartial y=w.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
w(x,y)=e^x+ye^x+e^y
e pede para mostrar que
partial wpartial x+partial wpartial y=w
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais usando a regra do quociente.

Passo 2

Vamos calcular partial wpartial x. Defina
f(x,y)=e^x+y, g(x,y)=e^x+e^y,
então w=f/g. Temos
fx=partialpartial xe^x+y=e^x+y, gx=partialpartial x(e^x+e^y)=e^x
Pela regra do quociente,
partial wpartial x =fx,g - f,gxg^2 =e^x+y(e^x+e^y) - e^x+ye^x(e^x+e^y)^2 =e^x+ye^y(e^x+e^y)^2

Passo 3

Agora calculamos partial wpartial y. De forma análoga,
fy=partialpartial ye^x+y=e^x+y, gy=partialpartial y(e^x+e^y)=e^y,
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partial wpartial y =fy,g - f,gyg^2 =e^x+y(e^x+e^y) - e^x+ye^y(e^x+e^y)^2 =e^x+ye^x(e^x+e^y)^2

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
partial wpartial x+partial wpartial y =e^x+ye^y(e^x+e^y)^2 +e^x+ye^x(e^x+e^y)^2 =e^x+y(e^x+e^y)(e^x+e^y)^2 =e^x+ye^x+e^y =w

Resposta

partial wpartial x+partial wpartial y=w

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