8-10 Um solenóide de 15 cm de comprimento é enrolado em duas camadas. Cada camada contém 100 espiras; a primeira camada tem 2 cm de raio e a segunda, 2,05 \mathrm{~cm}. Se o enrolamento conduzir uma corrente de 3 A , encontre a indução magnética em vários pontos ao longo do eixo do solenóide. Faça um gráfico da indução magnética axial em função da distância, desde o centro até uma das extremidades do solenóide.

Passo 1

O enunciado descreve um solenóide de comprimento L=0{,}15\\ \mathrm m enrolado em duas camadas, cada uma com N_1=N_2=100 espiras, raios R_1=0{,}02\\ \mathrm m e R_2=0{,}0205\\ \mathrm m, percorrido por corrente I=3\\ \mathrm A. Queremos calcular o campo magnético axial B(z) em pontos ao longo do eixo, desde o centro ( z=0) até uma extremidade ( z=L/2). Vamos tratar cada camada como um solenoide finito e usar o princípio da superposição.

Passo 2

Para um solenoide finito de N espiras uniformemente distribuídas em comprimento L, raio R e corrente I, a densidade de espiras é
n = \frac{N}{L},
e o campo no eixo, a uma distância z do centro, é
B(z) = \frac{\mu_{0}\,n\,I}{2}\, \Biggl[ \frac{z+\tfrac L2}{\sqrt{(z+\tfrac L2)^{2}+R^{2}}} \;-\; \frac{z-\tfrac L2}{\sqrt{(z-\tfrac L2)^{2}+R^{2}}} \Biggr],
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}. Como temos duas camadas independentes, somamos as contribuições com os parâmetros (N_1,R_1) e (N_2,R_2).

Passo 3

Aqui N_1=N_2=100, L=0{,}15\\ \mathrm{m}, logo
n_1=n_2=\frac{100}{0{,}15}\approx667\\ \mathrm{espiras/m}.
Substituindo em cada camada:
B_i(z) = \frac{(4\pi\times10^{-7})(667)(3)}{2} \Biggl[ \frac{z+0{,}075}{\sqrt{(z+0{,}075)^{2}+R_i^{2}}} - \frac{z-0{,}075}{\sqrt{(z-0{,}075)^{2}+R_i^{2}}} \Biggr],
com R_1=0{,}02\\ \mathrm{m} e R_2=0{,}0205\\ \mathrm{m}, e
B(z)=B_1(z)+B_2(z).

Passo 4

Escolhemos pontos z\in\{0,\,0{,}02,\,0{,}04,\,0{,}06,\,0{,}075\}\\ \mathrm{m} e avaliamos numericamente (valores em militesla):
z \text{ (m)} \quad B \text{ (mT)}
0 \quad 4,856
0,02 \quad 4,818
0,04 \quad 4,539
0,06 \quad 3,822
0,075 \quad 2,492

Passo 5

Para fazer o gráfico, coloque z no eixo horizontal (de 0 a 0,075\\ \mathrm{m}) e B no vertical (de 2,5 a 5\\ \mathrm{mT}). A curva sai de aproximadamente 4,86\\ \mathrm{mT} em z=0 e decresce suavemente até aproximadamente 2,49\\ \mathrm{mT} em z=0,075\\ \mathrm{m}.

Resposta

Os valores de B(z) em mT estão na tabela do Passo 4. O gráfico é uma curva decrescente ligando esses pontos desde o centro ( z=0, B\approx4,86\\ \mathrm{mT}) até a extremidade ( z=0,075, B\approx2,49\\ \mathrm{mT}).

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