8-16 Usando a lei circuital de Ampère, encontre a indução magnética a uma distância r do centro de um fio comprido que conduz uma corrente I. Faça isso para r>R e r<R, onde R é o raio do fio. Demonstre explicitamente que a indução magnética se anula sobre o eixo do fio.

Passo 1

O enunciado pede a indução magnética \vec{B} a uma distância r do eixo de um fio cilíndrico longo de raio R que conduz corrente I. O conteúdo envolve simetria cilíndrica e a Lei circuito-al de Ampère, que diz que ao longo de um caminho fechado
\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 \, I_{\rm enc},
onde I_{\rm enc} é a corrente atravessada pela superfície limitada pelo caminho.

Passo 2

Pela simetria do problema, \vec B é tangencial ao círculo de raio r (direção \hat\varphi em coordenadas cilíndricas) e tem valor constante em todo esse círculo. Tomamos como caminho amperiano esse círculo de raio r, de comprimento 2\pi r. Assim
\oint \vec B\cdot d\vec \ell = B(r)\,(2\pi r).

Passo 3

Caso r>R, toda a corrente I passa pelo interior do laço, logo I_{\rm enc}=I. Substituindo na Lei de Ampère:
B(r)\,(2\pi r) = \mu_0\,I \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}
com direção \hat\varphi.

Passo 4

Caso r<R, só uma fração da corrente total está dentro do círculo de raio r. A densidade de corrente é
J = \frac{I}{\pi R^2},
logo a corrente encerrada é
I_{\rm enc} = J \,\pi r^2 = I\,\frac{r^2}{R^2}.
Aplicando Ampère:
B(r)\,(2\pi r) = \mu_0\,I\,\frac{r^2}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_0\,I}{2\pi R^2}\,r,
também na direção \hat\varphi.

Passo 5

Para r\to0 (no eixo do fio) a expressão do caso interno dá
B(0) = \frac{\mu_0\,I}{2\pi R^2}\;0 = 0,
ou seja, a indução magnética se anula no centro do fio.

Resposta

Para r>R:
\vec B(r) = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}\,\hat\varphi.
Para r<R:
\vec B(r) = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,R^2}\;r\,\hat\varphi.
E no eixo ( r=0) temos \vec B(0)=0.

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