Use a aproximação linear para estimar f(x0+De<a x, y0+De<a y) para cada função f e para os valores indicados de x0, y0, De<a x e De<a y.
3 f(x, y)=x ln y-y ln x ; x0=1, y0=1, De<a x=0,01, De<a y=0,02.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime
fl(x0+De<a x,;y0+De<a yr)
pela aproximação linear (ou diferencial total) para a função
f(x,y)=xln y ;-;yln x
no ponto (x0,y0)=(1,1) com De<a x=0,01 e De<a y=0,02.
Para isso precisamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em (1,1) e usar
f(x0+De<a x,y0+De<a y)approx f(x0,y0) +partial fpartial x(x0,y0),De<a x +partial fpartial y(x0,y0),De<a y

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f.
Para partial f/partial x:
partialpartial xl(xln yr)=ln y, partialpartial xl(yln xr)=ycdot1x,
portanto
partial fpartial x(x,y) =ln y ;-;yx
Para partial f/partial y:
partialpartial yl(xln yr)=xcdot1y, partialpartial yl(yln xr)=ln x,
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partial fpartial y(x,y) =xy;-;ln x

Passo 3

Avalie as derivadas e f em (1,1).
f(1,1)=1cdotln1-1cdotln1=0,
partial fpartial x(1,1) =ln1-11=0-1=-1,
partial fpartial y(1,1) =11-ln1=1-0=1

Passo 4

Use a fórmula da aproximação linear:
f(1+De<a x,,1+De<a y) approx f(1,1) +partial fpartial x(1,1),De<a x +partial fpartial y(1,1),De<a y
Substituindo os valores:
f(1+0,01,,1+0,02) approx 0 + (-1)cdot0,01 + 1cdot0,02 = -0,01 + 0,02 = 0,01

Resposta

A estimativa por aproximação linear é
f(1+0,01,;1+0,02)approx 0,01

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