9.12 Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver:
& 2 x1+x2-x3=1 & 5 x1+2 x2+2 x3=-4 & 3 x1+x2+x3=5
Não utilize pivotamento. Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
2x1+x2-x3=1, 5x1+2x2+2x3=-4, 3x1+x2+x3=5
usando eliminação de Gauss–Jordan (forma reduzida da matriz aumentada) sem pivotamento.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, em seguida, normalizamos a primeira linha e zeramos abaixo do pivô:
[ccc|c 2 & 1 & -1 & 1 5 & 2 & 2 & -4 3 & 1 & 1 & 5 ]
Fazendo R1>=ts tfrac12R1, R2>=ts R2-5R1, R3>=ts R3-3R1, obtemos
[ccc|c 1 & tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 0 & -tfrac12 & tfrac92 & -tfrac132 0 & -tfrac12 & tfrac52 & tfrac72 ]

Passo 3

Agora normalizamos o segundo pivô e eliminamos as outras entradas da coluna x2:
R2>=ts R2/(-tfrac12), R1>=ts R1-tfrac12,R2, R3>=ts R3+tfrac12,R2.
O resultado é
[ccc|c 1 & 0 & 4 & -6 0 & 1 & -9 & 13 0 & 0 & -2 & 10 ]

Passo 4

Por fim, fazemos o pivô de x3:
R3>=ts R3/(-2), R1>=ts R1-4R3, R2>=ts R2+9R3.
Isso leva à forma reduzida
[ccc|c 1 & 0 & 0 & 14 0 & 1 & 0 & -32 0 & 0 & 1 & -5 ],
da qual lemos diretamente
x1=14, x2=-32, x3=-5

Passo 5

Verificação por substituição nas equações originais:
2cdot14+(-32)-(-5)=28-32+5=1,
5cdot14+2(-32)+2(-5)=70-64-10=-4,
3cdot14+(-32)+(-5)=42-32-5=5
Todas conferem com as constantes 1, -4, 5.

Resposta

x1=14,;x2=-32,;x3=-5

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