9.3 Três matrizes são dadas por
[A]=[cc1 & 6 3 & 10 7 & 4] [B]=[cc1 & 3 0,5 & 2] [C]=[cc2 & -2 -3 & 1]
(a) Efetue todas as multiplicações possíveis entre pares dessas matrizes.
(b) Use o método do Quadro PT3.2 para justificar por que os outros pares não podem ser multiplicados.
(c) Use os resultados de (a) para ilustrar por que a ordem da multiplicação é importante.

Passo 1

Temos as matrizes
A = 1 & 6 3 & 10 7 & 4 , B = 1 & 3 0,5 & 2 , C = 2 & -2 -3 & 1
Aqui A é 3times2, B e C são 2times2. Para multiplicar uma matriz X ( mtimes n) por Y ( ptimes q) precisamos ter n = p. Vamos achar todos os pares com dimensões compatíveis.

Passo 2

Calcular AB e AC, pois A é 3times2 e tanto B quanto C são 2times2.
AB = 1cdot1 + 6cdot0,5 & 1cdot3 + 6cdot2 3cdot1 + 10cdot0,5 & 3cdot3 + 10cdot2 7cdot1 + 4cdot0,5 & 7cdot3 + 4cdot2 = 4 & 15 8 & 29 9 & 29
AC = 1cdot2 + 6cdot(-3) & 1cdot(-2) + 6cdot1 3cdot2 + 10cdot(-3) & 3cdot(-2) + 10cdot1 7cdot2 + 4cdot(-3) & 7cdot(-2) + 4cdot1 = -16 & 4 -24 & 4 2 & -10

Passo 3

Calcular BC e CB, pois B e C são ambas 2times2.
BC = 1cdot2 + 3cdot(-3) & 1cdot(-2) + 3cdot1 0,5cdot2 + 2cdot(-3) & 0,5cdot(-2) + 2cdot1 = -7 & 1 -5 & 1 ,
CB = 2cdot1 + (-2)cdot0,5 & 2cdot3 + (-2)cdot2 -3cdot1 + 1cdot0,5 & -3cdot3 + 1cdot2 = 1 & 2 -2,5 & -7

Passo 4

Verificar os pares que não podem ser multiplicados pelo critério de dimensões:
B,A: B é 2times2 e A é 3times2, mas 2neq3, logo B,A não existe.
C,A: C é 2times2 e A é 3times2, mas 2neq3, logo C,A não existe.

Passo 5

Ilustrar a não comutatividade usando B,C e C,B:
BC = -7 & 1-5 & 1 e CB = 1 & 2-2,5 & -7,
como BC neq CB, a ordem na multiplicação faz diferença.

Resposta

(a)
AB = 4 & 158 & 299 & 29, AC = -16 & 4-24 & 42 & -10, BC = -7 & 1-5 & 1, CB = 1 & 2-2,5 & -7
(b) B,A e C,A não podem ser formados porque o número de colunas da matriz à esquerda difere do número de linhas da matriz à direita.
(c) Como BC neq CB, fica claro que trocar a ordem altera o resultado.

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