Use integração dupla para calcular a área da regiāo ® no plano (x y) limitada pelas curvas dadas.
y=x e y=3 x-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da área da região R no plano (x,y) limitada pelas curvas y = x e y = 3x - x^2 usando integração dupla.
O conteúdo envolve a representação da área como
A = integral duplaR dA
e a determinação dos limites de integração a partir das curvas que definem R.

Passo 2

Encontramos as abscissas de interseção das duas curvas resolvendo
x = 3x - x^2
que leva a
x^2 - 2x = 0 Longrightarrow x(x - 2)=0
Logo as interseções ocorrem em x=0 e x=2. Assim, a região R está contida em 0 <= x <= 2.

Passo 3

Para cada x em [0,2] comparamos as ordens de y:
(3x - x^2) - x = x(2 - x)>= 0 para 0<= x<= 2
Isso mostra que y = 3x - x^2 fica sempre acima de y = x nesse intervalo. Portanto
R = l(x,y)mid 0<= x<= 2,;x<= y<= 3x - x^2r

Passo 4

Montamos a integral dupla para a área como
A = integralx=0^2integraly=x^,3x - x^2 d y,d x

Passo 5

Primeiro integramos em y:
integraly=x^3x - x^2 d y = l[,yr]y=x^3x - x^2 = (3x - x^2) - x = 2x - x^2
Em seguida integramos em x:
A = integral0^2 (2x - x^2),d x = l[x^2 - tfracx^33r]0^2 = l(4 - tfrac83r) = tfrac43

Resposta

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