Use integração dupla para calcular a área da regiāo ® no plano (x y) limitada pelas curvas dadas.
y=x e y=3 x-x^{2}.
y=x e y=3 x-x^{2}.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da área da região
no plano
limitada pelas curvas
e
usando integração dupla.
O conteúdo envolve a representação da área como
O conteúdo envolve a representação da área como
e a determinação dos limites de integração a partir das curvas que definem
.
Passo 2
Encontramos as abscissas de interseção das duas curvas resolvendo
que leva a
Logo as interseções ocorrem em
e
. Assim, a região
está contida em
.
Passo 3
Para cada
em
comparamos as ordens de
:
Isso mostra que
fica sempre acima de
nesse intervalo. Portanto
Passo 4
Montamos a integral dupla para a área como
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Em seguida integramos em
: