Use integração dupla para calcular a área da regiāo ® no plano (x y) limitada pelas curvas dadas.
y=\sqrt[3]{x}, y=0, e x=-8.

Passo 1

Queremos a área da região R limitada por
y = raiz[3]x, y=0, x=-8
Para isso usamos integração dupla, pois
A = integral duplaR dA

Passo 2

Pelo gráfico, para cada x entre -8 e 0 a curva y=raiz[3]x fica abaixo de y=0. Assim
R = (x,y)mid -8 <= x <= 0, raiz[3]x<= y<= 0
Escolhendo a ordem dy,dx,
A = integralx=-8^0!integraly=x^1/3^0 dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em y:
integraly=x^1/3^0 dy = 0 - x^1/3 = -,x^1/3,
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A = integral-8^0 -,x^1/3,dx

Passo 4

Uma primitiva de x^1/3 é tfrac34x^4/3. Então
A = -l[tfrac34x^4/3r]-8^0 = -l(0 - (-8)^4/3cdottfrac34r)
Como raiz[3]-8=-2 temos (-8)^4/3=(-2)^4=16, daí
A = -l(0 - 16cdottfrac34r) = 12

Resposta

12

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