Use integração dupla para calcular a área da regiāo ® no plano (x y) limitada pelas curvas dadas.
y=x e^{-x}, y=x, e x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
y = x e^-x, y = x, x = 2
O conteúdo principal é usar integração dupla para área de uma região do tipo
R=(x,y)mid a<= x<= b,;g1(x)<= y<= g2(x),
o que reduz a um integral simples
Área(R)=integrala^bl[g2(x)-g1(x)r],dx Á
Para resolver vamos:
  1. Encontrar onde x e^-x=x para achar o limite a.
  2. Verificar quem é a função superior e quem é a inferior em [a,2].
  3. Montar e calcular a integral.

Passo 2

Determinamos a interseção de
x e^-x=x
Se x=0 a igualdade vale. Se xneq0 podemos dividir por x e obter e^-x=1, ou seja -x=0Rightarrow x=0. Logo a única interseção é em x=0. Assim a=0 e b=2.

Passo 3

Para xin[0,2] temos e^-x<=1, logo
x e^-x<= x
Isso mostra que g1(x)=x e^-x é o limite inferior em y e g2(x)=x é o limite superior.

Passo 4

Escrevemos a área como
Área(R) =integral duplaRdA =integralx=0^2!integraly=x e^-x^y=xdy,dx =integral0^2l[x - x e^-xr],dx Á

Passo 5

Para calcular
integral0^2l[x - x e^-xr],dx
separamos em
integral0^2x,dx ;-;integral0^2x e^-x,dx
Temos
integral x,dx=x^22,
e por partes em integral x e^-xdx: escolha u=x, dv=e^-xdx, obtém-se
integral x e^-xdx = -,x e^-x-integral(-e^-x),dx = -,(x+1)e^-x+C
Logo uma primitiva de x - x e^-x é
F(x)=x^22+(x+1)e^-x

Passo 6

Avaliaremos entre 0 e 2:
F(2)=2^22+(2+1)e^-2=2+3e^-2, F(0)=0^22+(0+1)e^0=1
Assim
Área(R)=F(2)-F(0) =(2+3e^-2)-1 =1+3e^-2 Á

Resposta

A área da região R é
1 + 3e^-2

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