Use integração dupla para calcular a área da regiāo ® no plano (x y) limitada pelas curvas dadas.
y=x e^{-x}, y=x, e x=2.
y=x e^{-x}, y=x, e x=2.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
limitada pelas curvas
O conteúdo principal é usar integração dupla para área de uma região do tipo
o que reduz a um integral simples
Para resolver vamos:
- Encontrar onde
para achar o limite . - Verificar quem é a função superior e quem é a inferior em
. - Montar e calcular a integral.
Passo 2
Determinamos a interseção de
Se
a igualdade vale. Se
podemos dividir por
e obter
, ou seja
. Logo a única interseção é em
. Assim
e
.
Passo 3
Para
temos
, logo
Isso mostra que
é o limite inferior em
e
é o limite superior.
Passo 4
Escrevemos a área como
Passo 5
Para calcular
separamos em
Temos
e por partes em
: escolha
,
, obtém-se
Logo uma primitiva de
é
Passo 6
Avaliaremos entre
e
:
Assim
Resposta
A área da região
é