Use integração dupla para calcular a área da regiāo ® no plano (x y) limitada pelas curvas dadas.
y=\operatorname{cosh} x, y=\operatorname{senh} x, x=-1, e x=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região R do plano (x,y) limitada pelas curvas
y = cosh x, y = sinh x, x = -1, x = 1
O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração dupla, usando a representação da região em coordenadas cartesianas e depois integrando primeiro em y e em seguida em x.

Passo 2

Descriminamos a região R como
-1 <= x <= 1, sinh x <= y <= cosh x
Logo a área A é dada por
A = integral duplaR dA = integralx=-1^1 l(integraly=sinh x^cosh x dyr) dx

Passo 3

Integramos primeiro em y. Como integraly=sinh x^cosh x dy = cosh x - sinh x, obtemos
A = integral-1^1 l(cosh x - sinh xr),dx

Passo 4

Para integrar em x, lembramos que
ddxl(sinh xr) = cosh x, ddxl(cosh xr) = sinh x
Portanto
integral (cosh x - sinh x),dx = sinh x - cosh x + C

Passo 5

Avaliando de -1 a 1,
A = l[sinh x - cosh xr]x=-1^x=1 = l(sinh 1 - cosh 1r) -l(sinh(-1) - cosh(-1)r)
Como sinh(-1)=-sinh 1 e cosh(-1)=cosh 1, vem
A = sinh 1 - cosh 1 + sinh 1 + cosh 1 = 2,sinh 1

Resposta

A área da região R é
2,sinh 1

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