Use todos os métodos de Adams-Bashforth para encontrar aproximações das soluções dos problemas de valor inicial. Em cada caso, use valores iniciais exatos obtidos a partir do método de Runge-Kutta de quarta ordem. Compare os resultados com os valores reais.
y^{\prime}=1+y / t, \quad 1 \leq t \leq 2, \quad y(1)=2, com h=0,2; solução real y(t)=t \ln t+2 t.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = 1 + \frac y t,\quad 1\le t\le 2,\quad y(1)=2,
com passo h=0,2. A solução exata é
y(t)=t\ln t+2t.
Vamos usar os métodos de Adams–Bashforth de ordem 1 a 4 para aproximar y(2), tomando como valores iniciais os quatro primeiros pontos obtidos pelo método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo h=0,2, e então comparar cada aproximação com o valor exato
y(2)=2\ln2+4\approx5,386294.

Passo 2

Usamos RK4 para obter y_k em t_k=1+0,2k, k=1,2,3,4. O esquema geral de RK4 é
y_{k+1}=y_k+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr),
com
k_1=f(t_k,y_k),\quad k_2=f\bigl(t_k+\tfrac h2,\;y_k+\tfrac h2\,k_1\bigr),\quad k_3=f\bigl(t_k+\tfrac h2,\;y_k+\tfrac h2\,k_2\bigr),\quad k_4=f(t_k+h,\;y_k+h\,k_3),
onde f(t,y)=1+y/t. Calculando, obtemos
\begin{aligned} y_1&\approx2{,}6187787,\\\ y_2&\approx3{,}2710484,\\\ y_3&\approx3{,}9519893,\\\ y_4&\approx4{,}6581212. \end{aligned}

Passo 3

Método de Adams–Bashforth de ordem 1 (Euler explícito):
y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n).
Partindo de y_0=2, avançamos até t_5=2 e achamos
y_5\approx5{,}29127,\quad\text{erro }y(2)-y_5\approx-0{,}09502.

Passo 4

Método de Adams–Bashforth de ordem 2:
y_{n+1}=y_n+\frac h2\bigl(3f(t_n,y_n)-f(t_{n-1},y_{n-1})\bigr).
Usando y_0=2 e y_1 de RK4, chegamos a
y_5\approx5{,}39493,\quad\text{erro }y_5-y(2)\approx+0{,}00864.

Passo 5

Método de Adams–Bashforth de ordem 3:
y_{n+1}=y_n+\frac h{12}\bigl(23f_n-16f_{n-1}+5f_{n-2}\bigr).
Com y_0,y_1,y_2 de RK4 e sucessivos f_n, obtemos
y_5\approx5{,}38486,\quad\text{erro }y_5-y(2)\approx-0{,}00143.

Passo 6

Método de Adams–Bashforth de ordem 4:
y_{n+1}=y_n+\frac h{24}\bigl(55f_n-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3}\bigr).
Com y_0,y_1,y_2,y_3 de RK4 e f_n correspondentes, achamos
y_5\approx5{,}38601,\quad\text{erro }y_5-y(2)\approx-0{,}00028.

Resposta

Método      Aproximação y(2)   Erro
AB1 (Euler)    5{,}29127 -0{,}09502
AB2        5{,}39493 +0{,}00864
AB3        5{,}38486 -0{,}00143
AB4        5{,}38601 -0{,}00028

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