Utilize o algoritmo da transformada rápida de Fourier para calcular o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro em [-\pi, \pi] para as seguintes funções:
f(x)=\pi(x-\pi)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio trigonométrico interpolador de grau 4 em [-\pi,\pi] para
f(x)=\pi\,(x-\pi)\,,
usando o algoritmo da FFT. Como grau 4 significa termos de fre­quência -4,-3,\dots,3,4, vamos:
  1. Amostrar f em N=2\cdot4+1=9 pontos equiespa­çados em [-\pi,\pi).
  2. Calcular via FFT os coeficientes de Fourier discretos
c_m=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)\,e^{-i m x_k},\quad m=-4,\dots,4.
  1. Escrever o interpolador
p_4(x)=\sum_{m=-4}^{4}c_m\,e^{i m x} =\;a_0+\sum_{m=1}^{4}\bigl[a_m\cos(mx)+b_m\sin(mx)\bigr].

Passo 2

Definimos os nós
x_k=-\pi+\frac{2\pi k}{9},\quad k=0,1,\dots,8,
e então
f(x_k)=\pi\bigl(x_k-\pi\bigr) =-2\pi^2+\frac{2\pi^2}{9}\,k.
Com isso, a soma para m=0
c_0=\frac1{9}\sum_{k=0}^{8}f(x_k) =\frac{-10\pi^2}{9}.

Passo 3

Para m\neq0 usa-se a soma
\sum_{k=0}^{8}k\,e^{-i m x_k} =(-1)^{m+1}\,\frac{9}{1-e^{-i(2\pi m/9)}},
de onde se obtém
c_m =\frac{2\pi^2}{9^2}\;(-1)^{m+1}\,\frac{9}{1-e^{-i2\pi m/9}} =\frac{(-1)^{m+1}\,\pi^2}{9\,i}\; \frac{e^{i m\pi/9}}{\sin\bigl(\tfrac{m\pi}{9}\bigr)}.

Passo 4

Como f é real, c_{-m}=\overline{c_m}. Logo
a_m=c_m+c_{-m}=2\Re(c_m),\quad b_m=i\bigl(c_m-c_{-m}\bigr)=2\Im(c_m).
Fazendo o cálculo (ou avaliando numericamente) encontra-se
\begin{aligned} a_0&=-\frac{10\pi^2}{9},\\\ a_1&=a_3=\frac{2\pi^2}{9},\quad a_2=a_4=-\frac{2\pi^2}{9},\\\ b_1&\approx 6{,}026\,,\quad b_2\approx -2{,}615\,,\quad b_3\approx 1{,}266\,,\quad b_4\approx -0{,}387\,. \end{aligned}

Passo 5

Portanto o interpolador trigonométrico de grau 4 é
\boxed{ \begin{aligned} p_4(x)&=a_0 +\;a_1\cos x \;+\;a_2\cos(2x)\;+\;a_3\cos(3x)\;+\;a_4\cos(4x)\\\ &\quad +\;b_1\sin x \;+\;b_2\sin(2x)\;+\;b_3\sin(3x)\;+\;b_4\sin(4x), \end{aligned} }
com os coeficientes acima.

Resposta

p_4(x)=-\frac{10\pi^2}{9} +\frac{2\pi^2}{9}\cos x-\frac{2\pi^2}{9}\cos(2x)+\frac{2\pi^2}{9}\cos(3x)-\frac{2\pi^2}{9}\cos(4x) +6{,}026\sin x-2{,}615\sin(2x)+1{,}266\sin(3x)-0{,}387\sin(4x).

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