(8) (Triângulos no espaço) Encontre o vetor unitário perpendicular ao plano P Q R.
P(-2,2,0), Q(0,1,-1), R(-1,2,-2).

Passo 1

O enunciado pede o vetor unitário perpendicular ao plano determinado pelos pontos P(-2,2,0), Q(0,1,-1) e R(-1,2,-2). Para isso, vamos usar a ideia de que o vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial de dois vetores contidos no plano, depois normalizamos esse normal para obter um vetor unitário.

Passo 2

Escolhemos dois vetores no plano, por exemplo
PQ = Q - P = (0 - (-2),,1 - 2,,-1 - 0) = (2,,-1,,-1),
PR = R - P = (-1 - (-2),,2 - 2,,-2 - 0) = (1,,0,,-2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial PQtimesPR, que é um vetor normal ao plano:
PQtimesPR = i & j & k 2 & -1 & -1 1 & 0 & -2 =2,i-(-3),j+1,k =(2,,3,,1)

Passo 4

O comprimento de (2,3,1) é
|(2,3,1)| =raiz2^2+3^2+1^2 =raiz14
Então o vetor unitário normal ao plano é
pm1raiz14,(2,,3,,1)

Resposta

n=1raiz14,(2,,3,,1) ou n=-1raiz14,(2,,3,,1)

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