(8) (Triângulos no espaço) Encontre o vetor unitário perpendicular ao plano P Q R.
(a) P(2,-2,1), Q(3,-1,2), R(3,-1,1),

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica no Espaço. A questão pede para encontrarmos um vetor unitário perpendicular ao plano formado pelos pontos P(2, -2, 1) , Q(3, -1, 2) e R(3, -1, 1) . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto vetorial e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano PQR . Podemos fazer isso criando vetores a partir dos pontos dados. Vamos calcular os vetores PQ e PR .
O vetor PQ é obtido subtraindo as coordenadas de P das coordenadas de Q :
PQ = Q - P = (3 - 2, -1 - (-2), 2 - 1) = (1, 1, 1)

Passo 3

Da mesma forma, o vetor PR é:
PR = R - P = (3 - 2, -1 - (-2), 1 - 1) = (1, 1, 0)

Passo 4

Agora, para encontrar um vetor perpendicular ao plano PQR , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores PQ e PR . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, perpendicular ao plano formado por eles.
A fórmula do produto vetorial PQ times PR é:
PQ times PR = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
PQ times PR = i(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = (-1)i + (1)j + (0)k
PQ times PR = (-1, 1, 0)

Passo 5

Agora que temos o vetor perpendicular n = (-1, 1, 0) , precisamos encontrar o vetor unitário nessa direção. Um vetor unitário é um vetor com magnitude igual a 1.
Primeiro, calculamos a magnitude de n :
||n|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 6

Finalmente, para obter o vetor unitário n , dividimos cada componente de n pela sua magnitude:
n = n||n|| = ( -1raiz2, 1raiz2, 0raiz2 ) = ( -1raiz2, 1raiz2, 0 )

Resposta

O vetor unitário perpendicular ao plano PQR é:
n = ( -1raiz2, 1raiz2, 0 )

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