Cálculo de Raízes de Funções Não Lineares: Implementar e comparar dois métodos numéricos para determinar as raízes das funções abaixo, registrando as iterações, erros relativos e tempo de execução. Neste projeto, as funções estudadas, que modelam aspectos dinâmicos da estrutura, serão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as raízes de duas funções não lineares usando dois métodos numéricos diferentes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Numérico, especificamente sobre Métodos de Busca de Raízes. Precisaremos entender como funcionam esses métodos, aplicar nas funções dadas e comparar os resultados, registrando as iterações, os erros relativos e o tempo de execução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a raiz de uma função. A raiz de uma função é o valor de que faz com que . No nosso caso, temos duas funções:
Onde é um parâmetro que pode alterar o comportamento das funções. Nossa missão é encontrar os valores de que satisfazem e .
Passo 3
Agora, vamos escolher dois métodos numéricos para encontrar essas raízes. Dois métodos populares são:
Método de Newton-Raphson: É um método iterativo que usa derivadas para encontrar sucessivas aproximações da raiz.
Método da Bisseção: É um método que divide repetidamente um intervalo ao meio e seleciona o subintervalo onde a raiz está localizada.
Vamos implementar ambos os métodos para as funções e .
Passo 4
Método de Newton-Raphson:
Para aplicar esse método, precisamos da derivada da função. A ideia é começar com um palpite inicial e usar a seguinte fórmula para encontrar a próxima aproximação:
Vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Para :
Passo 5
Método da Bisseção:
Esse método requer que a função mude de sinal no intervalo escolhido, ou seja, . A cada iteração, o intervalo é dividido ao meio e o subintervalo que contém a raiz é selecionado para a próxima iteração.
Vamos definir um intervalo inicial para cada função onde sabemos que a raiz está localizada.
Passo 6
Implementação e Registro:
Para cada função e , aplicaremos os dois métodos:
Escolha do palpite inicial ou intervalo inicial.
Aplicação do método iterativo:
No Newton-Raphson, calcular até que a diferença entre iterações seja menor que um valor de tolerância.
Na Bisseção, dividir o intervalo até que a largura do intervalo seja menor que a tolerância.
Registrar:
Número de iterações.
Erro relativo em cada iteração: .
Tempo de execução usando ferramentas como o módulo time em Python.
Passo 7
Comparação dos Métodos:
Após obter os resultados, vamos comparar:
Número de Iterações: Qual método convergiu mais rápido.
Erro Relativo: Qual método foi mais preciso nas aproximações.
Tempo de Execução: Qual método foi mais eficiente computacionalmente.
Essa comparação nos ajudará a entender as vantagens e limitações de cada método para as funções dadas.
Resposta
Seguindo esses passos, implementamos os métodos de Newton-Raphson e Bisseção para encontrar as raízes das funções f(x) = x^3 - 2x - lambda e g(x) = e^x - lambda cos(x) . Registramos o número de iterações, os erros relativos e o tempo de execução para cada método. Concluímos que [a resposta final específica dependeria dos valores de lambda e das implementações realizadas].