Resolva o sistema A X=B usando o método de Gauss-Seidel, a partir do vetor nulo e com precisão de varepsilon=0,01 no erro relativo. Verificando a convergência e o condicionamento das matrizes:
A=[ccc5 & -2 & 0 5 & -2 & 3 1 & 5 & 5], B=[c-5 10 5]

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente resolver o sistema
A,X = B, A=5 & -2 & 05 & -2 & 31 & 5 & 5,;B=-5105
usando o método de Gauss–Seidel, partindo do vetor nulo X^(0)=(0,0,0)^T e parando quando o erro relativo for menor que varepsilon=0,01. Além disso, queremos verificar se a iteração converge (teoria de dominância diagonal ou SPD) e calcular o número de condição da matriz. Vamos precisar de:
  1. critério de convergência para Gauss–Seidel,
  2. cálculo de det(A) e A^-1 pra achar cond(A),
  3. as fórmulas iterativas e o critério de erro relativo.

Passo 2

Verificando convergência por dominância diagonal:
– Linha 1: |a11|=5>=|-2|+|0|=2;Rightarrow;ok.
– Linha 2: |a22|=2<|5|+|3|=8;Rightarrow;falha.
– Linha 3: |a33|=5<|1|+|5|=6;Rightarrow;falha.
Como não é estritamente diagonal dominante e A não é simétrica, também não é SPD; logo NÃO temos garantia teórica de convergência. Mesmo assim, a gente testa na prática.

Passo 3

Número de condição em norma infinito:
  1. |A|infty=max(soma absoluta de cada linha)=max(7,10,11)=11.
  2. det(A)=-81.
  3. Calculei A^-1=1-81-25&10&-6-22&25&-1527&-27&0, daí
|A^-1|infty=181max(41,62,54)=6281approx0,7654
Logo
condinfty(A)=|A|infty;|A^-1|inftyapprox11cdot0,7654approx8,42,
ou seja, matriz razoavelmente bem condicionada.

Passo 4

Isolando cada variável para o Gauss–Seidel, a gente escreve:
x1 = dfrac15l(-5 + 2,x2r),[6pt] x2 = -dfrac12l(10 -5,x1 -3,x3r),[6pt] x3 = dfrac15l(5 -x1 -5,x2r)
No passo kto k+1, essas fórmulas viram
x1^(k+1)=-5+2,x2^(k)5, x2^(k+1)=-10-5,x1^(k+1)-3,x3^(k)2, x3^(k+1)=5 -x1^(k+1)-5,x2^(k+1)5
O critério de erro relativo adotado é
E^(k+1)=maxil|xi^(k+1)-xi^(k)r|l|xi^(k+1)r|
]

Passo 5

Aplicando a iteração (com 4 casas decimais) a partir de X^(0)=(0,0,0):
k x^(k) E^(k)
0 ( 0,0000; 0,0000; 0,0000)
1 (−1,0000; −7,5000; 8,7000) 1,0000
2 (−4,0000; −1,9500; 3,7500) 2,8462
3 (−1,7800; −3,8250; 5,1810) 1,2472
4 (−2,5300; −3,5535; 5,0595) 0,2959
5 (−2,4214; −3,4643; 4,9485) 0,0449
6 (−2,3857; −3,5415; 5,0186) 0,0218
7 (−2,4166; −3,5136; 4,9969) 0,0128
8 (−2,4054; −3,5182; 4,9993) 0,0046
Na iteração 8 já temos E^(8)<0,01, então paramos.

Resposta

Aproximação em 8 iterações:
Xapprox-2,4054-3,51824,9993
Convergência não garantida por dominância ou SPD, mas ocorreu na prática. Número de condição condinfty(A)approx8,42,.

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