No cálculo das variações, o problema de achar o extremo do funcional
com as condições subsidiárias
onde os
são constantes, é chamado de problema isoperimétrico. Pode-se provar (Elsgoltz 1969) que o extremo de
é determinado por meio das equações de Euler para o funcional
onde os multiplicadores de Lagrange
são constantes. Use este resultado para determinar a forma de um cabo de comprimento
, flexível, inextensível e homogêneo, que pende de dois postes verticais. Levando em conta que a posição de equilíbrio do cabo é aquela em que sua energia potencial gravitacional é mínima, mostre que o cabo toma a forma da curva que minimiza
com a condição
mostre que a solução é uma catenária.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a forma do cabo (a curva
) que minimiza a energia potencial gravitacional, dado que o cabo é flexível, inextensível, homogêneo e tem comprimento fixo
. As informações e condições relevantes são:
- A energia potencial total do cabo, por unidade de massa linear constante, é dada pelo funcional
Aqui
é a altura do cabo em relação a uma referência, definida em
, e
.
- A condição de comprimento fixo (restrição isoperimétrica) é
onde
é a constante (comprimento do cabo).
- Temos um problema isoperimétrico: minimizar
sujeito à restrição do comprimento. Pelo enunciado, podemos usar multiplicadores de Lagrange constantes e minimizar o funcional aumentado
com
e
.
Passo 2
Formulemos explicitamente o funcional aumentado. Como dito,
Portanto o integrando do funcional aumentado é
onde
é o multiplicador de Lagrange (constante). Nosso objetivo agora é aplicar as equações de Euler–Lagrange ao funcional
Passo 3
Recordemos a equação de Euler–Lagrange para um funcional
:
Aqui
depende de
e
mas, no nosso caso, não depende explicitamente de
. Vamos calcular
e
para
.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais passo a passo:
- Derivada em relação a
:
porque
e
é tratado como constante quando derivamos em relação a
.
- Derivada em relação a
:
Aqui usei a regra da cadeia:
.
Passo 5
Substituindo na equação de Euler–Lagrange obtemos
Podemos simplificar a resolução observando que
não depende explicitamente de
. Nesse caso existe uma primeira integral (identidade de Beltrami): a quantidade
é constante ao longo da solução. Vou usar essa identidade porque evita derivar a expressão acima explicitamente e permite integrar com mais facilidade.
Passo 6
Calculemos
:
Fatorando
e simplificando:
Logo existe uma constante
tal que
Esta é a primeira integral da equação de Euler–Lagrange.
Passo 7
A partir da relação anterior isolamos
:
Elevando ao quadrado:
Tomando raiz (escolhendo o sinal apropriado conforme orientação):
Separamos as variáveis para integrar:
Passo 8
Agora fazemos a integral. Use a substituição
. Então
e a integral torna-se
Conhecemos a primitiva
para
. Assim,
onde
é constante de integração (surgindo ao integrar em
).
Passo 9
Invertendo a função
pela
obtemos
ou seja
Esta é precisamente a forma de uma catenária. Podemos renomear constantes para uma forma mais habitual: tomando
e
, escrevemos
com
constantes determinadas pelas condições de contorno (posições dos postes) e pela condição de comprimento
.
Passo 10
Resumo didático e interpretação física das constantes:
-
(ou ) é um parâmetro de escala da catenária, relacionado à tensão horizontal do cabo; valores maiores de tornam a curva mais “aberta”. -
é o deslocamento horizontal (o eixo de simetria da catenária). -
(ou ) é um deslocamento vertical, ajustado para que a curva passe pelas alturas dos postes. - As constantes
são fixadas pelas condições de contorno (posições dos extremos do cabo) e pela restrição do comprimento .
Portanto a solução que minimiza a energia sob a restrição do comprimento é uma catenária dada pela fórmula acima.