Considere um oscilador harmônico com freqüência dependente do tempo, cuja lagrangiana é L=m \dot{q}^{2} / 2-m \omega^{2}(t) q^{2} / 2. (i) Se a função \rho(t) satisfaz a equação diferencial
\ddot{\rho}-\frac{1}{\rho^{3}}+\omega^{2}(t) \rho=0
prove que
I(q, \dot{q}, t)=(\rho \dot{q}-\dot{\rho} q)^{2}+\frac{q^{2}}{\rho^{2}}
é constante de movimento (Lewis Jr. & Riesenfeld 1969). (ii) Um exemplo dc interesse em cosmologia é \omega^{2}(t)=\omega_{0}^{2}+2 /\left(9 t^{2}\right), com \omega_{0} constante. Mostre que, neste caso, uma solução para \rho(t) é
\rho(t)=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{1 / 2}\left[J_{1 / 6}^{2}\left(\omega_{0} t\right)+Y_{1 / 6}^{2}\left(\omega_{0} t\right)\right]^{1 / 2}
onde J_{\nu} e Y_{\nu} são funções de Bessel de primeira e segunda espécies, respectivamente (Lemos & Natividade 1987).

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
  • Temos a lagrangiana \displaystyle L=\frac{m\dot{q}^{2}}{2}-\frac{m\omega^{2}(t)q^{2}}{2}.
  • Define-se a função \rho(t) que satisfaz a equação diferencial
\ddot{\rho}-\frac{1}{\rho^{3}}+\omega^{2}(t)\rho=0.
  • (i) Precisa-se provar que a quantidade
I(q,\dot{q},t)=(\rho\dot{q}-\dot{\rho}q)^{2}+\frac{q^{2}}{\rho^{2}}
é constante de movimento (ou seja, \dfrac{dI}{dt}=0 ao longo das soluções q(t) da EDO do oscilador).
  • (ii) Para o caso especial \displaystyle \omega^{2}(t)=\omega_{0}^{2}+\frac{2}{9t^{2}} (com \omega_{0} constante), deve-se mostrar que uma solução da equação de \rho é
\rho(t)=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{1/2}\Big[J_{1/6}^{2}(\omega_{0}t)+Y_{1/6}^{2}(\omega_{0}t)\Big]^{1/2},
onde J_{\nu} e Y_{\nu} são as funções de Bessel de primeira e segunda espécies.
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Equação de movimento para q(t) (Euler–Lagrange) — explicando a ferramenta.
A regra que liga lagrangiana a EDO é a equação de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Aqui \partial L/\partial \dot{q}=m\dot{q} e \partial L/\partial q=-m\omega^{2}(t)q. Substituindo,
\frac{d}{dt}(m\dot{q})+m\omega^{2}(t)q=0 \quad\Rightarrow\quad m\ddot{q}+m\omega^{2}(t)q=0.
Dividindo por m obtemos a equação do oscilador:
\ddot{q}+\omega^{2}(t)q=0.
Comentário didático: isso diz que a aceleração \ddot{q} é determinada pela “força” linear -\omega^{2}(t)q; é a EDO homogênea de segunda ordem que as soluções q(t) devem satisfazer.

Passo 3

Preparar a derivação de \dfrac{dI}{dt}. Defina a quantidade auxiliar
A(t):=\rho\dot{q}-\dot{\rho}q.
Então I=A^{2}+\dfrac{q^{2}}{\rho^{2}}. Vou calcular \dfrac{dI}{dt} passo a passo e mostrar que é zero usando as EDOs conhecidas. Primeiro derive A:
\frac{dA}{dt}=\dot{\rho}\dot{q}+\rho\ddot{q}-\ddot{\rho}q-\dot{\rho}\dot{q}=\rho\ddot{q}-\ddot{\rho}q.
Observe que os termos \dot{\rho}\dot{q} se cancelam — isso é uma boa simplificação.

Passo 4

Derivar I e reorganizar em fator comum.
Derivando I:
\frac{dI}{dt}=2A\frac{dA}{dt}+\frac{d}{dt}\left(\frac{q^{2}}{\rho^{2}}\right).
Já temos \dfrac{dA}{dt}=\rho\ddot{q}-\ddot{\rho}q. Agora a segunda parcela:
\frac{d}{dt}\left(\frac{q^{2}}{\rho^{2}}\right)=\frac{2q\dot{q}}{\rho^{2}}+q^{2}\frac{d}{dt}\left(\rho^{-2}\right) =\frac{2q\dot{q}}{\rho^{2}}-2q^{2}\frac{\dot{\rho}}{\rho^{3}}.
Fatorando \dfrac{2}{\rho^{3}} obtemos
\frac{d}{dt}\left(\frac{q^{2}}{\rho^{2}}\right)=\frac{2}{\rho^{3}}\big(\rho q\dot{q}-q^{2}\dot{\rho}\big) =\frac{2q}{\rho^{3}}(\rho\dot{q}-\dot{\rho}q)=\frac{2q}{\rho^{3}}A.
Portanto
\frac{dI}{dt}=2A(\rho\ddot{q}-\ddot{\rho}q)+\frac{2q}{\rho^{3}}A =2A\Big(\rho\ddot{q}-\ddot{\rho}q+\frac{q}{\rho^{3}}\Big).

Passo 5

Usar as equações satisfeitas por q e \rho para zerar \dfrac{dI}{dt}.
Da equação do oscilador temos \ddot{q}=-\omega^{2}(t)q. Da equação dada para \rho temos, rearranjando,
\ddot{\rho}+\omega^{2}(t)\rho-\frac{1}{\rho^{3}}=0.
Substituindo \ddot{q} em \rho\ddot{q}-\ddot{\rho}q+\dfrac{q}{\rho^{3}} obtemos
\rho(-\omega^{2}q)-\ddot{\rho}q+\frac{q}{\rho^{3}} =-q\big(\ddot{\rho}+\omega^{2}\rho-\frac{1}{\rho^{3}}\big).
Pela equação satisfeita por \rho o parêntese é zero, logo todo esse termo é zero. Concluímos
\frac{dI}{dt}=2A\cdot 0=0.
Portanto I é de fato constante ao longo das soluções q(t) do oscilador: I= constante de movimento. (Isto prova a parte (i).)

Passo 6

Introdução ao método que resolve a parte (ii) — Pinney e redução à equação linear.
A equação para \rho pode ser escrita como
\ddot{\rho}+\omega^{2}(t)\rho=\frac{1}{\rho^{3}},
que é a chamada equação de Milne–Pinney (uma EDO não linear de segunda ordem). Há um resultado útil e clássico: se u_{1}(t) e u_{2}(t) são duas soluções linearmente independentes da equação linear homogênea
\ddot{u}+\omega^{2}(t)u=0,
então uma solução geral da equação de Pinney é
\rho(t)=\sqrt{A u_{1}^{2}+B u_{2}^{2}+2C u_{1}u_{2}},
onde A,B,C são constantes escolhidas de modo que
AB-C^{2}=\frac{1}{W^{2}},
e W=W(u_{1},u_{2}) é o wronskiano W=u_{1}\dot{u}_{2}-\dot{u}_{1}u_{2} (o wronskiano é constante para a equação linear homogênea). Breve justificativa: ao derivar duas vezes \rho^{2} e usar as equações de u_{1},u_{2} aparece o termo 1/\rho^{3} quando a condição AB-C^{2}=1/W^{2} for satisfeita; este é um resultado padrão e prático que evita tentar resolver a EDO não linear diretamente.

Passo 7

Encontrar soluções u_{1},u_{2} da equação linear para o \omega^{2}(t) dado.
Para \displaystyle \omega^{2}(t)=\omega_{0}^{2}+\frac{2}{9t^{2}} a equação linear é
\ddot{u}+\left(\omega_{0}^{2}+\frac{2}{9t^{2}}\right)u=0.
Fazemos a substituição padrão u(t)=t^{p}w(s) com s=\omega_{0}t. Calculando derivadas e reorganizando (detalhes algébricos abaixo) obtemos uma equação para w(s):
w''+\frac{2p}{s}w'+\left(1+\frac{p(p-1)+2/9}{s^{2}}\right)w=0.
Queremos que isso seja a equação de Bessel padrão
w''+\frac{1}{s}w'+\left(1-\frac{\nu^{2}}{s^{2}}\right)w=0,
portanto igualando coeficientes obtemos 2p=1\Rightarrow p=\tfrac{1}{2} e
p(p-1)+\frac{2}{9}=-\frac{\nu^{2}}{\,}\Rightarrow \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{9}=-\nu^{2}.
Calculando o lado esquerdo:
-\frac{1}{4}+\frac{2}{9}=-\frac{1}{36}\quad\Rightarrow\quad \nu^{2}=\frac{1}{36}\Rightarrow \nu=\frac{1}{6}.
Assim w(s) satisfaz a equação de Bessel de ordem \nu=1/6. Logo duas soluções fundamentais da equação linear são
u_{1}(t)=t^{1/2}J_{1/6}(\omega_{0}t),\qquad u_{2}(t)=t^{1/2}Y_{1/6}(\omega_{0}t),
onde J_{1/6} e Y_{1/6} são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, respectivamente. Comentário: escolher p=\tfrac{1}{2} elimina o termo w' na forma adequada (transformação padrão para reduzir à equação de Bessel).

Passo 8

Calcular o wronskiano W(u_{1},u_{2}).
Usando u_{1}=t^{1/2}J(s), u_{2}=t^{1/2}Y(s) com s=\omega_{0}t, derivadas e simplificações mostram (fácil checagem direta)
W(u_{1},u_{2})=u_{1}\dot{u}_{2}-\dot{u}_{1}u_{2}=t\omega_{0}\big(J(s)Y'(s)-J'(s)Y(s)\big).
Mas o wronskiano padrão das funções de Bessel em \emph{variável} s é
J_{\nu}(s)Y_{\nu}'(s)-J_{\nu}'(s)Y_{\nu}(s)=\frac{2}{\pi s}.
Substituindo essa expressão e s=\omega_{0}t obtemos
W(u_{1},u_{2})=t\omega_{0}\cdot\frac{2}{\pi s}=t\omega_{0}\cdot\frac{2}{\pi \omega_{0}t}=\frac{2}{\pi}.
Portanto o wronskiano é a constante W=\dfrac{2}{\pi}. Consequentemente
\frac{1}{W^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}.

Passo 9

Construir \rho(t) usando a solução geral de Pinney e escolher constantes.
Pela fórmula geral da solução da equação de Pinney, podemos tomar
\rho^{2}(t)=A u_{1}^{2}+B u_{2}^{2}+2C u_{1}u_{2},
com A,B,C constantes verificando AB-C^{2}=1/W^{2}=\pi^{2}/4. Uma escolha simples e simétrica que satisfaz essa condição é
A=B=\frac{\pi}{2},\qquad C=0,
pois então AB-C^{2}=(\pi/2)^{2}=\pi^{2}/4. Com essa escolha obtemos
\rho^{2}(t)=\frac{\pi}{2}\big(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\big) =\frac{\pi}{2}\,t\Big[J_{1/6}^{2}(\omega_{0}t)+Y_{1/6}^{2}(\omega_{0}t)\Big].
Tomando a raiz positiva (usualmente escolhemos \rho>0) resulta
\rho(t)=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{1/2}\Big[J_{1/6}^{2}(\omega_{0}t)+Y_{1/6}^{2}(\omega_{0}t)\Big]^{1/2},
que é exatamente a expressão pedida. Comentário: a constante \left(\dfrac{\pi}{2}\right) aparece naturalmente para garantir a relação AB-C^{2}=1/W^{2}.

Resposta

(i) I(q,\dot{q},t) é constante de movimento, isto é, \dfrac{dI}{dt}=0 ao longo das soluções de \ddot{q}+\omega^{2}(t)q=0.\n(ii) \displaystyle \rho(t)=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{1/2}\Big[J_{1/6}^{2}(\omega_{0}t)+Y_{1/6}^{2}(\omega_{0}t)\Big]^{1/2}

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