Considere um oscilador harmônico com freqüência dependente do tempo, cuja lagrangiana é
. (i) Se a função
satisfaz a equação diferencial
prove que
é constante de movimento (Lewis Jr. & Riesenfeld 1969). (ii) Um exemplo dc interesse em cosmologia é
, com
constante. Mostre que, neste caso, uma solução para
é
onde
e
são funções de Bessel de primeira e segunda espécies, respectivamente (Lemos & Natividade 1987).
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
- Temos a lagrangiana
. - Define-se a função
que satisfaz a equação diferencial
- (i) Precisa-se provar que a quantidade
é constante de movimento (ou seja,
ao longo das soluções
da EDO do oscilador).
- (ii) Para o caso especial
(com constante), deve-se mostrar que uma solução da equação de é
onde
e
são as funções de Bessel de primeira e segunda espécies.
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas; a resolução começa no passo seguinte.
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Equação de movimento para
(Euler–Lagrange) — explicando a ferramenta.
A regra que liga lagrangiana a EDO é a equação de Euler–Lagrange:
A regra que liga lagrangiana a EDO é a equação de Euler–Lagrange:
Aqui
e
. Substituindo,
Dividindo por
obtemos a equação do oscilador:
Comentário didático: isso diz que a aceleração
é determinada pela “força” linear
; é a EDO homogênea de segunda ordem que as soluções
devem satisfazer.
Passo 3
Preparar a derivação de
. Defina a quantidade auxiliar
Então
. Vou calcular
passo a passo e mostrar que é zero usando as EDOs conhecidas. Primeiro derive
:
Observe que os termos
se cancelam — isso é uma boa simplificação.
Passo 4
Derivar
e reorganizar em fator comum.
Derivando :
Derivando
Já temos
. Agora a segunda parcela:
Fatorando
obtemos
Portanto
Passo 5
Usar as equações satisfeitas por
e
para zerar
.
Da equação do oscilador temos . Da equação dada para
temos, rearranjando,
Da equação do oscilador temos
Substituindo
em
obtemos
Pela equação satisfeita por
o parêntese é zero, logo todo esse termo é zero. Concluímos
Portanto
é de fato constante ao longo das soluções
do oscilador:
constante de movimento. (Isto prova a parte (i).)
Passo 6
Introdução ao método que resolve a parte (ii) — Pinney e redução à equação linear.
A equação para pode ser escrita como
A equação para
que é a chamada equação de Milne–Pinney (uma EDO não linear de segunda ordem). Há um resultado útil e clássico: se
e
são duas soluções linearmente independentes da equação linear homogênea
então uma solução geral da equação de Pinney é
onde
são constantes escolhidas de modo que
e
é o wronskiano
(o wronskiano é constante para a equação linear homogênea). Breve justificativa: ao derivar duas vezes
e usar as equações de
aparece o termo
quando a condição
for satisfeita; este é um resultado padrão e prático que evita tentar resolver a EDO não linear diretamente.
Passo 7
Encontrar soluções
da equação linear para o
dado.
Para a equação linear é
Para
Fazemos a substituição padrão
com
. Calculando derivadas e reorganizando (detalhes algébricos abaixo) obtemos uma equação para
:
Queremos que isso seja a equação de Bessel padrão
portanto igualando coeficientes obtemos
e
Calculando o lado esquerdo:
Assim
satisfaz a equação de Bessel de ordem
. Logo duas soluções fundamentais da equação linear são
onde
e
são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, respectivamente. Comentário: escolher
elimina o termo
na forma adequada (transformação padrão para reduzir à equação de Bessel).
Passo 8
Calcular o wronskiano
.
Usando ,
com
, derivadas e simplificações mostram (fácil checagem direta)
Usando
Mas o wronskiano padrão das funções de Bessel em \emph{variável}
é
Substituindo essa expressão e
obtemos
Portanto o wronskiano é a constante
. Consequentemente
Passo 9
Construir
usando a solução geral de Pinney e escolher constantes.
Pela fórmula geral da solução da equação de Pinney, podemos tomar
Pela fórmula geral da solução da equação de Pinney, podemos tomar
com
constantes verificando
. Uma escolha simples e simétrica que satisfaz essa condição é
pois então
. Com essa escolha obtemos
Tomando a raiz positiva (usualmente escolhemos
) resulta
que é exatamente a expressão pedida. Comentário: a constante
aparece naturalmente para garantir a relação
.
Resposta
(i)
é constante de movimento, isto é,
ao longo das soluções de
.\n(ii)