Cálculo da Velocidade de Deslocamento de Terra: Uma escavadeira está escavando uma trincheira de profundidade variável ao longo de uma estrada. A profundidade d(x) da trincheira ao longo de x metros de distância da entrada é dada pela função:
d(x)=0.5 x^2-3 x+10
Determine a taxa de variação da profundidade quando a escavadeira estiver a 5 metros da entrada da trincheira. Isso ajudará a estimar a taxa de remoção de terra naquele ponto.

Passo 1

Neste exercício, temos a profundidade da trincheira dada pela função
d(x)=0.5x^2-3x+10
Nosso objetivo é calcular a taxa de variação da profundidade, ou seja a derivada d'(x), e depois avaliá-la em x=5. O conteúdo principal é cálculo de derivadas de polinômios.

Passo 2

A derivada d'(x) representa a taxa de variação instantânea de d em relação a x. Vamos usar a regra de potência, que diz que
ddx(a x^n)=a n x^n-1
e a derivada de constante é zero.

Passo 3

Derivando cada termo de d(x):
ddx(0.5x^2)=x
ddx(-3x)=-3
ddx(10)=0
Portanto,
d'(x)=x-3

Passo 4

Agora avaliamos em x=5:
d'(5)=5-3=2

Passo 5

Isso significa que, quando a escavadeira está a 5 metros da entrada, a profundidade da trincheira está aumentando a 2 metros para cada metro deslocado horizontalmente, indicando a taxa de remoção de terra naquele ponto.

Resposta

2 metros de profundidade por metro de deslocamento horizontal

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