Problema de Deformação de uma Viga sob Carga: Uma viga de aço de 10 metros de comprimento está sujeita a uma carga uniformemente distribuída q=500 N / m ao longo de sua extensão. A deflexão y(x) da viga no ponto x é dada pela equação:
y(x)=q24 E I(x^4-4 L x^3+6 L^2 x^2)
Onde E é o módulo de elasticidade do material ( em N / m^2 ), I é o momento de inércia da viga, L é o comprimento total da viga e x é a posição ao longo da viga. Determine a máxima deflexão y máx á e em que ponto x essa deflexão ocorre.

Passo 1

O enunciado dá a deflexão de uma viga tipo “cantilever” de comprimento L=10,m submetida a uma carga uniformemente distribuída q=500,N/m, segundo a fórmula
y(x)=q24,E,Il(x^4-4L,x^3+6L^2x^2r)
Queremos achar onde y(x) atinge o valor máximo e qual é esse ymax. Para isso vamos usar cálculo: derivar y(x), achar os pontos críticos e comparar as bordas do intervalo [0,L].

Passo 2

Calculamos a derivada de y(x). Como q/(24EI) é constante, temos
y'(x)=q24,E,I,ddxl(x^4-4Lx^3+6L^2x^2r) =q24,E,Il(4x^3-12Lx^2+12L^2xr)
Fatorando:
y'(x) =q6,E,I;xl(x^2-3Lx+3L^2r)

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos y'(x)=0. Isso dá
x=0 ou x^2-3Lx+3L^2=0
O discriminante desse segundo fator é
De<a = ( -3L)^2-4cdot1cdot3L^2=9L^2-12L^2=-3L^2<0,
logo não há raízes reais além de x=0. Como y'(x)>0 para todo xin(0,L], a função é estritamente crescente nesse intervalo. Portanto o valor máximo ocorre em x=L.

Passo 4

Basta avaliar y(x) em x=L:
y(L) =q24,E,Il(L^4-4Lcdot L^3+6L^2cdot L^2r) =q24,E,I,(3L^4) =q,L^48,E,I
Substituindo q=500,N/m e L=10,m, obtemos em termos de E,I:
ymax =500,(10)^48,E,I =500cdot10,0008,E,I =5,000,0008,E,I =625,000E,I

Resposta

xmax=L=10,m
ymax =q,L^48,E,I =625,000E,I

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