Exemplo de função em que partial^2 fpartial x partial y neq partial^2 fpartial y partial x : Considere a função
f(x, y)=l x y x^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Prove que:

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)= x,y,dfracx^2-y^2x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0),[6pt] 0, & (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que os derivados mistos em (0,0) não coincidem, ou seja, que
partial^2 fpartial xpartial y(0,0)neq partial^2 fpartial ypartial x(0,0)
Para isso vamos aplicar a definição de derivada parcial duas vezes, primeiro em x e depois em y, e depois na ordem inversa.]

Passo 2

Calcular fx(0,y) pela definição
fx(0,y) =limhto0f(0+h,y)-f(0,y)h =limhto0f(h,y)h
Para yneq0, temos
f(h,y)=h,y,h^2-y^2,h^2+y^2,,
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f(h,y)h =y,h^2-y^2,h^2+y^2, ;xrightarrow[hto0]; y,0-y^2,0+y^2, =-y
Portanto
fx(0,y)=-y,forall,yneq0,
e como fx(0,0)=0 (basta ver f(h,0)=0), concluímos que
fx(0,y)=-ypara todo (y)

Passo 3

Agora aplicamos definição de derivada de fx em relação a y no ponto (0,0):
partial^2 fpartial xpartial y(0,0) =fxy(0,0) =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k =limkto0-k-0k =-1

Passo 4

Em seguida, calculamos fy(x,0) pela definição
fy(x,0) =limkto0f(x,0+k)-f(x,0)k =limkto0f(x,k)k
Para xneq0,
f(x,k)=x,k,x^2-k^2,x^2+k^2,,
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f(x,k)k =x,x^2-k^2,x^2+k^2, ;xrightarrow[kto0]; x,x^2-0,x^2+0, =x
Como f(x,0)=0, temos
fy(x,0)=xpara todo (x)

Passo 5

Agora derivamos fy em relação a x no ponto (0,0):
partial^2 fpartial ypartial x(0,0) =fyx(0,0) =limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h =limhto0h-0h =1

Passo 6

Concluímos que
fxy(0,0)=-1 e fyx(0,0)=1,
logo os derivados mistos não coincidem em (0,0).

Resposta

fxy(0,0)=-1neq 1=!fyx(0,0).

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