Otimização de Material em Estruturas: Um engenheiro civil está projetando uma viga de concreto retangular. O volume
da viga é dado pela fórmula:
Onde
é a largura da viga,
é a altura da viga, e
é o comprimento da viga. O engenheiro deseja minimizar o volume de concreto necessário para uma viga que tenha um momento de inércia
. Encontre a relação entre
e
que minimiza o volume de concreto e determine os valores de
e
.
Passo 1
O enunciado trata de otimizar o volume de concreto de uma viga retangular de comprimento
fixo, cujo volume é
sujeito à restrição de momento de inércia
O conteúdo é “otimização com restrição”: podemos isolar uma variável pela restrição e depois minimizar a outra via derivada.
Passo 2
Da restrição
, isolamos
:
Passo 3
Substituindo em
obtemos
em função de
só:
Passo 4
Para ver se há mínimo interior, derivamos em relação a
:
Como
para todo
,
é decrescente e não há ponto crítico interno; o volume cai quando
cresce.
Passo 5
Matematicamente, o “mínimo” de
fica no limite
,
. Isso mostra que não existe solução de comprimento e altura finitos que minimize de fato o volume: quanto mais alta e estreita a viga (mantendo
fixo), menor o volume.
Resposta
Relação entre
e
para satisfazer
:
Não existe par
finito que minimize o volume:
decresce quando
(e
).