Otimização de Material em Estruturas: Um engenheiro civil está projetando uma viga de concreto retangular. O volume V da viga é dado pela fórmula:
V=b cdot h cdot l
Onde b é a largura da viga, h é a altura da viga, e l é o comprimento da viga. O engenheiro deseja minimizar o volume de concreto necessário para uma viga que tenha um momento de inércia I=b h^312=5000 cm^4. Encontre a relação entre b e h que minimiza o volume de concreto e determine os valores de b e h.

Passo 1

O enunciado trata de otimizar o volume de concreto de uma viga retangular de comprimento l fixo, cujo volume é
V = b,h,l
sujeito à restrição de momento de inércia
I = b,h^312 = 5000 cm^4
O conteúdo é “otimização com restrição”: podemos isolar uma variável pela restrição e depois minimizar a outra via derivada.

Passo 2

Da restrição b,h^312=5000, isolamos b:
b = 12cdot5000h^3 = 60000h^3,

Passo 3

Substituindo em V=b,h,l obtemos V em função de h só:
V(h) ;=;l(60000h^3r),h,l ;=;60000,lh^2,

Passo 4

Para ver se há mínimo interior, derivamos em relação a h:
dVdh =ddhl(60000,l,h^-2r) =-120000,l,h^-3,
Como dVdh<0 para todo h>0, V(h) é decrescente e não há ponto crítico interno; o volume cai quando h cresce.

Passo 5

Matematicamente, o “mínimo” de V fica no limite htoinfty, bto0. Isso mostra que não existe solução de comprimento e altura finitos que minimize de fato o volume: quanto mais alta e estreita a viga (mantendo I fixo), menor o volume.

Resposta

Relação entre b e h para satisfazer I=5000:
b=60000h^3
Não existe par (b,h) finito que minimize o volume: V decresce quando htoinfty (e bto0).

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