(UE-CE) Se, para 0<x<pi e x neq pi2, o valor da soma com infinitas parcelas 1+sen x+ +sen^2 x+sen^3 x+ldots é igual a 2 , então o valor do |cos x| é:
a) 12
b) raiz22
c) raiz32
d) raiz33

Passo 1

O enunciado nos dá a soma infinita
S = 1 + sin x + sin^2x + sin^3x + cdots
para 0<x<pi e xneq tfracpi2, e afirma que S=2. O conteúdo aqui é série geométrica infinita, cuja soma é
S = 11 - sin x,
desde que |sin x|<1 (o que ocorre para xneq tfracpi2). Precisamos usar essa fórmula para encontrar sin x e então computar lvertcos xrvert.

Passo 2

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica, temos
S = 11 - sin x

Passo 3

Como o enunciado diz que S=2, igualamos
11 - sin x = 2
e resolvemos para sin x:
1 - sin x = tfrac12 Longrightarrow sin x = 1 - tfrac12 = tfrac12
No intervalo 0<x<pi (excluindo x=tfracpi2), essa equação tem as soluções x=tfracpi6 e x=tfrac5pi6.

Passo 4

Calculamos lvertcos xrvert em cada caso. Para x=tfracpi6,
cos!l(tfracpi6r) = tfracraiz32,
e para x=tfrac5pi6,
cos!l(tfrac5pi6r) = -tfracraiz32,
cujo valor absoluto também é tfracraiz32.

Resposta

c) tfracraiz32

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