(UF-PR) Na função , a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Considerando que para calcular o determinante acima usa-se a mesma regra de determinantes de matrizes com números reais:
a) Calcule f(1 + i) e f(0).
b) Encontre números reais a e b tais que f(a+b i)=0.
Passo 1
O enunciado define a função
onde e é a unidade imaginária. Vamos usar a regra do determinante de matriz ,
para (a) calcular e e (b) encontrar reais tais que .
]
Passo 2
Primeiro, expressemos f(a+bi) em termos de a e b.
Usando
f(a+bi)=(a+bi)(1-2i)- (1+i)(-i),
expandimos separadamente: (a+bi)(1-2i)=a -2ai + bi -2b i^2 = (a+2b) +(-2a+b)i, (1+i)(-i)=-i - i^2 = -i +1 = 1 - i.
Logo
Re f(1+i)=1+2cdot1-1=2, Im f(1+i)= -2cdot1 +1 +1=0
Logo
f(1+i)=2
Para f(0)=f(0+0i), tomamos a=0, b=0:
Re f(0)=0+0-1=-1, Im f(0)=0+0+1=1,
portanto
f(0)=-1 + i
Passo 4
Para achar
Da primeira equação vem .
Resposta
a) f(1+i)=2 f(0)=-1+i
b) A única solução em reais é
a=tfrac35, b=tfrac15
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 167