(UF-PR) Na função f(a+b i)=det[cca+b i & 1+i -i & 1-2 i], a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Considerando que para calcular o determinante acima usa-se a mesma regra de determinantes de matrizes com números reais:
a) Calcule f(1 + i) e f(0).
b) Encontre números reais a e b tais que f(a+b i)=0.

Passo 1

O enunciado define a função
onde e é a unidade imaginária. Vamos usar a regra do determinante de matriz ,
para (a) calcular e e (b) encontrar reais tais que .
]

Passo 2

Primeiro, expressemos f(a+bi) em termos de a e b.
Usando
f(a+bi)=(a+bi)(1-2i)- (1+i)(-i),
expandimos separadamente:
(a+bi)(1-2i)=a -2ai + bi -2b i^2 = (a+2b) +(-2a+b)i,
(1+i)(-i)=-i - i^2 = -i +1 = 1 - i.
Logo
f(a+bi) = l[(a+2b)-1r] + l[(-2a+b)+1r],i = (a+2b-1) + ( -2a + b +1 ),i

Passo 3

Para f(1+i), tomamos a=1, b=1:
Re f(1+i)=1+2cdot1-1=2, Im f(1+i)= -2cdot1 +1 +1=0
Logo
f(1+i)=2
Para f(0)=f(0+0i), tomamos a=0, b=0:
Re f(0)=0+0-1=-1, Im f(0)=0+0+1=1,
portanto
f(0)=-1 + i

Passo 4

Para achar
Da primeira equação vem .

Resposta

a) f(1+i)=2 f(0)=-1+i
b) A única solução em reais é
a=tfrac35, b=tfrac15

Exercícios de Livros Relacionados