1. Estabelecer a equação das curvas que interceptam as retas tiradas pela origem sob o mesmo ângulo alpha, em qualquer posição.

Passo 1

O enunciado pede as curvas que cortam todas as retas saindo da origem sob o mesmo ângulo alpha. Esse é o caso clássico da espiral equiangular (ou logarítmica). Para tratar essa propriedade, vamos usar coordenadas polares (r,theta), em que uma curva é dada por r=r(theta), e lembrar a expressão do ângulo entre a reta radial e a tangente à curva.

Passo 2

Em coordenadas polares, o ângulo psi entre a tangente à curva r(theta) e a direção radial satisfaz a relação
tanpsi = rdthetadr
Como queremos psi=alpha constante, impomos
tanalpha ;=; r,dthetadr

Passo 3

Da equação tanalpha = r,dtheta/dr isolamos dr/dtheta:
dthetadr = tanalphar ;Longrightarrow; drdtheta = rcotalpha

Passo 4

A equação diferencial drdtheta=rcotalpha é separável:
drr = cotalpha,dtheta
Integrando ambos os lados,
ln r = thetacotalpha + ln C,
onde C>0 é constante de integração. Exponenciando, obtemos a família de espirais.

Resposta

r = C,e^thetacotalpha,
que são as espirais logarítmicas (equiangulares) que interceptam todas as retas da origem sob o mesmo ângulo alpha.

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