- Estabelecer a equação das curvas que interceptam as retas tiradas pela origem sob o mesmo ângulo
, em qualquer posição.
Passo 1
O enunciado pede as curvas que cortam todas as retas saindo da origem sob o mesmo ângulo
. Esse é o caso clássico da espiral equiangular (ou logarítmica). Para tratar essa propriedade, vamos usar coordenadas polares
, em que uma curva é dada por
, e lembrar a expressão do ângulo entre a reta radial e a tangente à curva.
Passo 2
Em coordenadas polares, o ângulo
entre a tangente à curva
e a direção radial satisfaz a relação
Como queremos
constante, impomos
Passo 3
Da equação
isolamos
:
Passo 4
A equação diferencial
é separável:
Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração. Exponenciando, obtemos a família de espirais.
Resposta
que são as espirais logarítmicas (equiangulares) que interceptam todas as retas da origem sob o mesmo ângulo
.