Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binômios:
1-binomn1+binomn2-binomn3+ldots pmbinom nn=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro n>=1, vale
1 - binomn1 + binomn2 - binomn3 + cdots + (-1)^n binomnn ;=; 0
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema do Binômio de Newton, que nos dá a expansão de (1+x)^n.

Passo 2

O Teorema do Binômio afirma que, para inteiro n>=0,
(1 + x)^n ;=; sumk=0^n binomnk x^k
Basta agora escolher x = -1. Substituindo, obtemos
(1 + (-1))^n ;=; sumk=0^n binomnk (-1)^k
O lado esquerdo é (1-1)^n = 0^n. Para n>=1, isso vale 0.

Passo 3

Portanto,
sumk=0^n (-1)^k binomnk ;=; 0,
ou seja,
1 - binomn1 + binomn2 - cdots + (-1)^n binomnn ;=; 0

Resposta

0

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