(Esta é a desigualdade de Jensen, que estabelece que a potência média
,
de duas quantidades positivas
, é uma função crescente de
79. Mostrar que o sinal igual tem lugar na desigualdade acima se, e sòmente se
.
Passo 1
O enunciado fala da desigualdade de Jensen para a função convexa
em
, aplicada aos pontos
e
com pesos
e
. Isso leva à forma da média de ordem
:
Precisamos mostrar que nessa desigualdade o caso de igualdade acontece se, e somente se,
.
Passo 2
Suponha que haja igualdade:
Elevando ambos os lados a
, obtemos
Ou seja,
Mas isso é exatamente a desigualdade da média aritmético-geométrica com pesos para
.
Passo 3
Sabe-se que, na desigualdade
a igualdade ocorre se, e somente se,
.
Passo 4
Aplicando isso a
e
, concluímos que a igualdade só pode acontecer quando
já que
. Reciprocamente, se
, é imediato que ambos os lados de
valem .
valem
Resposta
A igualdade na desigualdade de Jensen acima ocorre se, e somente se,
.