(Esta é a desigualdade de Jensen, que estabelece que a potência média p, [theta a^rho+(1-theta) b^rho]^1 / rho de duas quantidades positivas a b, é uma função crescente de p) 79. Mostrar que o sinal igual tem lugar na desigualdade acima se, e sòmente se a=b.

Passo 1

O enunciado fala da desigualdade de Jensen para a função convexa varphi(x)=x^rho em (0,infty), aplicada aos pontos a e b com pesos theta e 1-theta. Isso leva à forma da média de ordem rho:
Mrho(a,b) =l[theta,a^rho+(1-theta),b^rhor]^1/rho ;>=;a^thetab^1-theta
Precisamos mostrar que nessa desigualdade o caso de igualdade acontece se, e somente se, a=b.

Passo 2

Suponha que haja igualdade:
l[theta,a^rho+(1-theta),b^rhor]^1/rho = a^thetab^1-theta
Elevando ambos os lados a rho, obtemos
theta,a^rho+(1-theta),b^rho = l(a^thetab^1-thetar)^rho = l(a^rhor)^theta,l(b^rhor)^1-theta
Ou seja,
theta,x + (1-theta),y = x^thetay^1-theta com x=a^rho,;y=b^rho
Mas isso é exatamente a desigualdade da média aritmético-geométrica com pesos para x,y>0.

Passo 3

Sabe-se que, na desigualdade
theta,x + (1-theta),y ;>=; x^thetay^1-theta,
a igualdade ocorre se, e somente se, x=y.

Passo 4

Aplicando isso a x=a^rho e y=b^rho, concluímos que a igualdade só pode acontecer quando
a^rho=b^rho Longrightarrow a=b,
já que a,b>0. Reciprocamente, se a=b, é imediato que ambos os lados de
l[theta,a^rho+(1-theta),b^rhor]^1/rho>= a^thetab^1-theta
valem a.

Resposta

A igualdade na desigualdade de Jensen acima ocorre se, e somente se, a=b.

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